Решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Задача формулируется как описание игры , основанной на американской телеигре «Let’s Make a Deal», и названа в честь ведущего этой передачи. Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine , звучит следующим образом:

  Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль , за двумя другими дверями - козы . Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас - не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

  После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу (см. ниже).

  Наиболее популярной является задача с дополнительным условием - участнику игры заранее известны следующие правила:

  • автомобиль равновероятно размещён за любой из трёх дверей;
  • ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
  • если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.

  В нижеследующем тексте обсуждается задача Монти Холла именно в этой формулировке.

  Разбор

  Для стратегии выигрыша важно следующее: если вы меняете выбор двери после действий ведущего, то вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную дверь. Это произойдёт с вероятностью 2 ⁄ 3 , так как изначально выбрать проигрышную дверь можно 2 способами из 3.

  Но часто при решении этой задачи рассуждают примерно так: ведущий всегда в итоге убирает одну проигрышную дверь, и тогда вероятности появления автомобиля за двумя не открытыми становятся равны ½ , вне зависимости от первоначального выбора. Но это неверно: хотя возможностей выбора действительно остаётся две, эти возможности (с учётом предыстории) не являются равновероятными! Это так, поскольку изначально все двери имели равные шансы быть выигрышными, но затем имели разные вероятности быть исключёнными.

  Для большинства людей этот вывод противоречит интуитивному восприятию ситуации, и благодаря возникающему несоответствию между логическим выводом и ответом, к которому склоняет интуитивное мнение, задача и называется парадоксом Монти Холла .

  Ещё более наглядной ситуация с дверями становится, если представить что дверей не 3 а, скажем 1000, и после выбора игрока ведущий убирает 998 лишних, оставляя 2 двери: ту, которую выбрал игрок и ещё одну. Представляется более очевидным, что вероятности нахождения приза за этими дверьми различны, и не равны ½ . Если мы меняем дверь, то проигрываем только в том случае, если сначала выбрали призовую дверь, вероятность чего 1:1000. Выигрываем же мы в том случае, если наш изначальный выбор был не правильным, а вероятность этого - 999 из 1000. В случае с 3 дверьми логика сохраняется, но вероятность выигрыша при смене решения соответственно ниже, а именно 2 ⁄ 3 .

  Другой способ рассуждения - замена условия эквивалентным. Представим, что вместо осуществления игроком первоначального выбора (пусть это будет всегда дверь № 1) и последующего открытия ведущим двери с козой среди оставшихся (то есть всегда среди № 2 и № 3), представим, что игроку нужно угадать дверь с первой попытки, но ему предварительно сообщается, что за дверью № 1 автомобиль может быть с исходной вероятностью (33 %), а среди оставшихся дверей указывается за какой из дверей автомобиля точно нет (0 %). Соответственно, на последнюю дверь всегда будет приходиться 67 %, и стратегия её выбора предпочтительна.

  Другое поведение ведущего

  Классическая версия парадокса Монти Холла утверждает, что ведущий обязательно предложит игроку сменить дверь, независимо от того, выбрал тот машину или нет. Но возможно и более сложное поведение ведущего. В этой таблице кратко описаны несколько вариантов поведения.

  Возможное поведение ведущего
  Поведение ведущего	Результат
  «Адский Монти»: ведущий предлагает сменить, если дверь правильная .	Смена всегда даст козу.
  «Ангельский Монти»: ведущий предлагает сменить, если дверь неправильная .	Смена всегда даст автомобиль.
  «Несведущий Монти» или «Монти Бух»: ведущий нечаянно падает, открывается дверь, и оказывается, что за ней не машина. Другими словами, ведущий сам не знает, что за дверями, открывает дверь полностью наугад, и только случайно за ней не оказалось автомобиля .	Смена даёт выигрыш в ½ случаев. Именно так устроено американское шоу «Deal or No Deal» - правда, случайную дверь открывает сам игрок, и если за ней нет автомобиля, ведущий предлагает сменить.
  Ведущий выбирает одну из коз и открывает её, если игрок выбрал другую дверь.	Смена даёт выигрыш в ½ случаев.
  Ведущий всегда открывает козу. Если выбран автомобиль, левая коза открывается с вероятностью p и правая с вероятностью q =1− p .	Если ведущий открыл левую дверь, смена даёт выигрыш с вероятностью 1 1 + p {\displaystyle {\frac {1}{1+p}}} . Если правую - 1 1 + q {\displaystyle {\frac {1}{1+q}}} . Однако испытуемый никак не может повлиять на вероятность того, что будет открыта правая дверь - независимо от его выбора это произойдёт с вероятностью 1 + q 3 {\displaystyle {\frac {1+q}{3}}} .
  То же самое, p = q = ½ (классический случай).	Смена даёт выигрыш с вероятностью 2 ⁄ 3 .
  То же самое, p =1, q =0 («бессильный Монти» - усталый ведущий стоит у левой двери и открывает ту козу, которая ближе).	Если ведущий открыл правую дверь, смена даёт гарантированный выигрыш. Если левую - вероятность ½ .
  Ведущий открывает козу всегда, если выбран автомобиль, и с вероятностью ½ в противном случае.	Смена даёт выигрыш с вероятностью ½ .
  Общий случай : игра повторяется многократно, вероятность спрятать автомобиль за той или иной дверью, а также открыть ту или иную дверь произвольная, однако ведущий знает, где автомобиль, и всегда предлагает смену, открывая одну из коз.	Равновесие Нэша : ведущему выгоднее всего именно парадокс Монти Холла в классическом виде (вероятность выигрыша 2 ⁄ 3 ). Машина прячется за любой из дверей с вероятностью ⅓ ; если есть выбор, открываем любую козу наугад.
  То же самое, но ведущий может не открывать дверь вообще.	Равновесие Нэша : ведущему выгодно не открывать дверь, вероятность выигрыша ⅓ .

  См. также

  Примечания

  1. Tierney, John (July 21, 1991), "Behind Monty Hall"s Doors: Puzzle, Debate and Answer? ", The New York Times , . Проверено 18 января 2008.

  Люди привыкли считать правильным то, что представляется очевидным. Оттого они часто попадают впросак, неверно оценив ситуацию, доверившись своей интуиции и не уделив время для того, чтобы критически осмыслить свой выбор и его последствия.

  Монти наглядная иллюстрация неспособности человека взвесить свои шансы на успех в условиях выбора благоприятного исхода при наличии более чем одного неблагоприятного.

  Формулировка парадокса Монти Холла

  Итак, что же это за зверь такой? О чем, собственно, речь? Самым известным примером парадокса Монти Холла выступает телешоу, популярное в Америке середины прошлого века под названием «Давай заключим пари!». Кстати, именно благодаря ведущему этой викторины впоследствии и получил свое имя парадокс Монти Холла.

  Игра состояла в следующем: участнику показывали три двери, с виду совершенно одинаковые. Однако за одной из них игрока ждал дорогой новый автомобиль , а вот за двумя другими в нетерпении томилось по козе. Как это обычно бывает в случае телевикторин, что находилось за выбранной конкурсантом дверью, то и становилось его выигрышем.

  В чем же состоит хитрость?

  

  Но не все так просто. После того как выбор был сделан, ведущий, зная, где сокрыт главный приз, открывал одну из оставшихся двух дверей (конечно, ту самую, за которой притаилось парнокопытное), а затем спрашивал игрока, не желает ли тот изменить свое решение.

  Парадокс Монти Холла, сформулированный учеными в 1990 году, заключается в том, что, вопреки интуиции, подсказывающей, что нет никакой разницы в принятии на основании вопроса ведущего решения, нужно согласиться изменить свой выбор. Если хочется заполучить отличную машину, естественно.

  Как это работает?

  

  Причин, по которым людям не захочется отказываться от своего выбора, несколько. Интуиция и простая (но неверная) логика говорят, что от этого решения ничего не зависит. Более того, далеко не каждому захочется идти на поводу у другого - это же самая настоящая манипуляция, разве не так? Нет, не так. Но если бы все было сразу интуитивно понятно, то и не стали бы называть. Нет ничего странного в том, чтобы сомневаться. Когда данную головоломку впервые опубликовали в одном из крупных журналов, тысячи читателей, в том числе и признанные математики, прислали в редакцию письма, в которых утверждали, что напечатанный в номере ответ не соответствует действительности. Если существование теории вероятностей не было новостью для человека, попавшего на шоу, то возможно, он бы смог разгадать эту задачу. И тем самым увеличить шансы на победу. На самом деле объяснение парадокса Монти Холла сводится к несложной математике.

  Объяснение первое, посложнее

  Вероятность того, что приз находится за той дверью, которая была избрана изначально - один из трех. Шанс же обнаружить его за одной из двух оставшихся равен двум из трех. Логично, не так ли? Теперь, после того как одна из этих дверей оказывается открытой, и за ней обнаруживается коза, во втором множестве (том, которое соответствует 2/3 шанса на успех) остается только один вариант. Значение этого варианта остается прежним, и оно равно двум из трех. Таким образом, становится очевидно, что, изменив свое решение, игрок увеличит вероятность выигрыша вдвое.

  Объяснение номер два, попроще

  После такого трактования решения многие все равно настаивают на том, что смысла в этом выборе нет, ведь варианта всего два и один из них точно выигрышный, а другой однозначно ведет к поражению.

  Но у теории вероятностей на данную проблему свой взгляд. И это становится еще яснее, если представить себе, что дверей изначально не три, а, скажем, сто. В таком случае возможность угадать, где находится приз, с первого раза составляет всего лишь один к девяносто девяти. Теперь участник делает свой выбор, а Монти исключает девяносто восемь дверей с козами, оставляя лишь две, одну из которых выбрал игрок. Таким образом, вариант, выбранный изначально, сохраняет шансы на выигрыш равные 1/100, а вторая предложенная возможность - 99/100. Выбор должен быть очевиден.

  Существуют ли опровержения?

  Ответ прост: нет. Ни одного достаточно обоснованного опровержения парадокса Монти Холла не существует. Все "разоблачения", которые можно обнаружить в Сети, сводятся к непониманию принципов математики и логики.

  Для каждого, кто хорошо знаком с математическими принципами , неслучайность вероятностей абсолютно очевидна. Не соглашаться с ними может только тот, кто не понимает, как устроена логика. Если все вышесказанное до сих пор звучит неубедительно - обоснование парадокса было проверено и подтверждено на известной передаче «Разрушители легенд», а кому еще поверить, как не им?

  

  Возможность убедиться наглядно

  Хорошо, пусть все это звучит убедительно. Но ведь это только теория, можно ли как-то посмотреть на работу этого принципа в действии, а не только на словах? Во-первых, живых людей никто не отменял. Найдите напарника, который возьмет на себя роль ведущего и поможет разыграть вышеописанный алгоритм в реальности. Для удобства можно взять коробки, ящики или вовсе рисовать на бумаге. Повторив процесс несколько десятков раз, сравните число выигрышей в случае смены первоначального выбора с тем, сколько побед принесло упрямство, и все станет ясно. А можно поступить еще проще и воспользоваться Интернетом. В Сети существует немало симуляторов парадокса Монти Холла, в них можно проверить все самому и без лишнего реквизита.

  Какой толк от этих знаний?

  Может показаться, что это просто очередная головоломка, призванная напрячь мозги, и служит она лишь развлекательным целям. Однако свое практическое применение парадокс Монти Холла находит в первую очередь в азартных играх и различных тотализаторах. Тем, кто имеет большой опыт , прекрасно известны распространенные стратегии увеличения шансов на обнаружение валуйной ставки (от английского слова value, что буквально означает "ценность" - такой прогноз, который сбудется с большей вероятностью, чем это было оценено букмекерами). И одна из таких стратегий напрямую задействует парадокс Монти Холла.

  Пример в работе с тотализатором

  

  Спортивный пример будет мало отличаться от классического. Допустим, есть три команды из первого дивизиона. В три ближайших дня каждая из этих команд должна сыграть по одному решающему матчу. Та из них, что по итогам матча наберет больше очков, чем две другие, останется в первом дивизионе, остальные же будут вынуждены его покинуть. Предложение букмекера простое: нужно поставить на сохранение позиций одного из этих футбольных клубов , при этом коэффициенты ставок равны.

  Для удобства принимаются такие условия, при которых соперники участвующих в выборе клубов примерно равны по силе. Таким образом, однозначно определить фаворита до начала игр не получится.

  Тут нужно вспомнить историю про коз и автомобиль. Каждая из команд имеет шанс остаться на своем месте в одном случае из трех. Выбирается любая из них, на нее делается ставка. Пусть это будет "Балтика". По результатам первого дня один из клубов проигрывает, а двоим сыграть еще только предстоит. Это та самая "Балтика" и, скажем, "Шинник".

  Большинство сохранит свою первоначальную ставку - в первом дивизионе останется "Балтика". Но следует помнить, что ее шансы остались прежними, а вот шансы "Шинника" удвоились. Поэтому логично сделать еще одну ставку, более крупную, на победу "Шинника".

  Наступает следующий день, и матч с участием "Балтики" проходит вничью. Следующим играет "Шинник", и его игра заканчивается победой со счетом 3:0. Выходит, что именно он останется в первом дивизионе. Поэтому, хоть первая ставка на "Балтику" и теряется, но эту потерю перекрывает прибыль на новой ставке на "Шинник".

  Можно предположить, и большинство так и поступит, что выигрыш "Шинника" - всего лишь случайность. На самом же деле принимать вероятность за случайность - крупнейшая ошибка для человека, участвующего в спортивных тотализаторах. Ведь профессионал всегда скажет, что любая вероятность выражается прежде всего в четких математических закономерностях. Если знать основы этого подхода и все связанные с ним нюансы, то риски потери денег сведутся к минимуму.

  Польза в прогнозировании экономических процессов

  Итак, в ставках на спорт парадокс Монти Холла знать просто необходимо. Но одними тотализаторами область его применения не ограничивается. Теория вероятностей всегда тесно связана со статистикой, оттого в политике и экономике понимание принципов парадокса не менее важно.

  В условиях экономической неопределенности, с которой часто имеют дело аналитики, нужно помнить следующий проистекающий из решения задачи вывод: не обязательно точно знать единственно верное решение . Шансы на удачный прогноз всегда повышаются, если знать, чего точно не произойдет. Собственно, это и есть самый полезный вывод из парадокса Монти Холла.

  Когда мир стоит на пороге экономических потрясений, политики всегда стараются угадать нужный вариант действий, чтобы максимально снизить последствия кризиса. Возвращаясь к предыдущим примерам, в сфере экономики задачу можно описать так: перед руководителями стран есть три двери. Одна ведет к гиперинфляции, вторая к дефляции, а третья - к заветному умеренному росту экономики. Но как нащупать верный ответ?

  Политики утверждают, что те или иные их действия приведут к увеличению рабочих мест и росту экономики. Но ведущие экономисты, опытные люди, среди которых даже лауреаты Нобелевской премии , наглядно демонстрируют им, что один из этих вариантов точно не приведет к желаемому результату. Станут ли после этого политики менять свой выбор? Крайне маловероятно, так как в этом отношении они мало чем отличаются от тех же участников телешоу. Поэтому вероятность ошибки только увеличится при увеличении числа советчиков.

  Исчерпывается ли этим информация по теме?

  На самом деле до сих пор здесь рассматривался только "классический" вариант парадокса, то есть та ситуация, при которой ведущий точно знает, за какой из дверей находится приз, и открывает только дверь с козой. Но существуют и другие механизмы поведения ведущего, в зависимости от которых принцип работы алгоритма и результат его выполнения будут отличаться.

  Влияние поведения ведущего на парадокс

  

  Итак, что же может сделать ведущий, чтобы изменить ход событий? Допустим разные варианты.

  Так называемый "Дьявольский Монти" - ситуация, в которой ведущий всегда предложит игроку поменять свой выбор при условии, что он был изначально верным. В этом случае изменение решения всегда приведет к поражению.

  Напротив, "Ангельским Монти" называется похожий принцип поведения, но в том случае, если выбор игрока был изначально неверным. Логично, что в такой ситуации изменение решения приведет к победе.

  Если же ведущий открывает двери наугад, не имея представления о том, что скрыто за каждой из них, то шансы выиграть всегда будут равны пятидесяти процентам. При этом за открытой ведущим дверью может оказаться и автомобиль.

  Ведущий может 100 % открыть дверь с козой, если игрок выбрал автомобиль, и с 50 % вероятностью в случае, если игрок выбрал козу. При таком алгоритме действий, если игрок изменит выбор, то всегда будет в выигрыше в одном случае из двух.

  Когда игра повторяется вновь и вновь, а вероятность того, что выигрышной окажется определенная дверь, всегда произвольна (так же как и то, какую дверь откроет ведущий, при этом ему известно, где скрывается автомобиль, и он всегда открывает дверь с козой и предлагает изменить выбор) - шанс победить всегда будет равен одному из трех. Это называется равновесием Нэша.

  Равно как и в таком же случае, но при условии, что ведущий не обязан открывать одну из дверей вовсе — вероятность победы будет все так же равна 1/3.

  В то время как классическая схема проверяется довольно легко, эксперименты с другими возможными алгоритмами поведения ведущего произвести на практике намного сложнее. Но при должной дотошности экспериментатора возможно и такое.

  И все же, к чему все это?

  

  Понимание механизмов действий любых логических парадоксов очень полезно для человека, его мозга и осознания того, как на самом деле может быть устроен мир, насколько его устройство может отличаться от привычного представления индивида о нем.

  Чем больше человек знает о том, как работает то, что окружает его в повседневной жизни и о чем он вовсе не привык задумываться, тем лучше работает его сознание, и тем эффективнее он может быть в своих поступках и устремлениях.

  В декабре 1963 года на американском телеканале NBC впервые вышла программа Let’s Make a Deal («Заключим сделку!»), в которой участники, выбранные из зрителей в студии, торговались друг с другом и с ведущим, играли в небольшие игры или просто угадывали ответ на вопрос. В конце передачи участники могли сыграть в «сделку дня». Перед ними было три двери, про которые было известно, что за одной из них - Главный Приз (например, автомобиль), а за двумя другими - менее ценные или вовсе абсурдные подарки (например, живые козы). После того как игрок делал свой выбор, ведущий программы Монти Холл (Monty Hall) открывал одну из двух оставшихся дверей, показывая, что за ней Приза нет и давая участнику порадоваться тому, что он сохраняет шансы на выигрыш.

  В 1975 году учёный из Калифорнийского университета Стив Селвин (Steve Selvin) задался вопросом о том, что будет, если в этот момент, после открытия двери без Приза, предложить участнику поменять свой выбор. Изменятся ли в этом случае шансы игрока получить Приз, а если да, то в какую сторону? Он отправил соответствующий вопрос в виде задачи в журнал The American Statistician («Американский статистик»), а также - самому Монти Холлу, который дал на него довольно любопытный ответ. Несмотря на этот ответ (а может, и благодаря ему) задача получила распространение под именем «задача Монти Холла».

  Наиболее распространённая формулировка этой задачи, опубликованная в 1990 году в журнале Parade Magazine, звучит следующим образом:

  «Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2. Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?»

  

  
  После публикации немедленно выяснилось, что задача сформулирована некорректно: не все условия оговорены. Например, ведущий может придерживаться стратегии «адский Монти»: предлагать сменить выбор тогда и только тогда, когда игрок первым ходом выбрал автомобиль. Очевидно, что смена первоначального выбора будет вести в такой ситуации к гарантированному проигрышу.

  Наиболее популярной является задача с дополнительным условием - участнику игры заранее известны следующие правила:

  1. автомобиль равновероятно размещён за любой из 3 дверей;
  2. ведущий в любом случае обязан открыть дверь с козой (но не ту, которую выбрал игрок) и предложить игроку изменить выбор;
  3. если у ведущего есть выбор, какую из двух дверей открыть, он выбирает любую из них с одинаковой вероятностью.
  Подсказка

  Попробуйте рассмотреть людей, выбравших в одном и том же случае (то есть когда Приз находится, например, за дверью №1) разные двери. Кто будет в выигрыше от изменения своего выбора, а кто - нет?

  Решение

  Как и было предложено в подсказке, рассмотрим людей, сделавших разный выбор. Предположим, что Приз находится за дверью №1, а за дверями №2 и №3 - козы. Пусть у нас есть шесть человек, причём каждую дверь выбрали по два человека, и из каждой пары один впоследствии изменил решение, а другой - нет.

  Заметим, что выбравшим дверь №1 Ведущий откроет одну из двух дверей на свой вкус, при этом, независимо от этого, Автомобиль получит тот, кто не изменит своего выбора, изменивший же свой первоначальный выбор останется без Приза. Теперь посмотрим на выбравших двери №2 и №3. Поскольку за дверью №1 стоит Автомобиль, открыть её Ведущий не может, что не оставляет ему выбора - он открывает им двери №3 и №2 соответственно. При этом изменивший решение в каждой паре в результате выберет Приз, а не изменивший - останется ни с чем. Таким образом, из троих людей, изменивших решения, двое получат Приз, а один - козу, в то время как из троих, оставивших свой изначальный выбор неизменным, Приз достанется лишь одному.

  Необходимо отметить, что если бы Автомобиль оказался за дверью №2 или №3, результат был бы тем же, изменились бы лишь конкретные победители. Таким образом, предполагая, что изначально каждая дверь выбирается с равной вероятностью , мы получаем, что меняющие свой выбор выигрывают Приз в два раза чаще, то есть вероятность выигрыша в этом случае больше.

  Посмотрим на эту задачу с точки зрения математической теории вероятностей. Будем предполагать, что вероятность изначального выбора каждой из дверей одинакова, равно как и вероятность нахождения за каждой из дверей Автомобиля. Кроме того, полезно сделать оговорку, что Ведущий, когда он может открыть две двери, выбирает каждую из них с равной вероятностью. Тогда окажется, что после первого принятия решения вероятность того, что Приз за выбранной дверью, равна 1/3, в то время как вероятность того, что он - за одной из двух других дверей, равна 2/3. При этом, после того как Ведущий открыл одну из двух «невыбранных» дверей, вся вероятность 2/3 приходится лишь на одну из оставшихся дверей, создавая тем самым основание для смены решения, которая увеличит вероятность выигрыша в 2 раза. Что, конечно, его нисколько не гарантирует в одном конкретном случае, но приведёт к более удачным результатам в случае многократного повторения эксперимента.

  Послесловие

  Задача Монти Холла - это не первая из известных формулировок данной проблемы. В частности, в 1959 году Мартин Гарднер опубликовал в журнале Scientific American аналогичную задачу «о трёх узниках» (Three Prisoners problem) со следующей формулировкой: «Из трёх узников одного должны помиловать, а двоих - казнить. Узник A уговаривает стражника назвать ему имя того из двух других, которого казнят (любого, если казнят обоих), после чего, получив имя B, считает, что вероятность его собственного спасения стала не 1/3, а 1/2. В то же время, узник C утверждает, что это вероятность его спасения стала 2/3, а для A ничего не изменилось. Кто из них прав?»

  Однако и Гарднер был не первым, так как ещё в 1889 году в своём «Исчислении вероятностей» французский математик Жозеф Бертран (не путать с англичанином Бертраном Расселом!) предлагает похожую задачу (см. Bertrand"s box paradox): «Есть три ящика, в каждом из которых лежат две монеты: две золотых в первом, две серебряных во втором, и две разных - в третьем. Из наугад выбранного ящика наугад вытащили монету, которая оказалась золотой. Какова вероятность того, что оставшаяся монета в ящике - золотая?»

  Если понять решения всех трёх задач, легко заметить схожесть их идей; математически же все их объединяет понятие условной вероятности, то есть вероятности события A, если известно, что событие B произошло. Простейший пример : вероятность того, что на обычном игральном кубике выпала единица, равна 1/6; однако если известно, что выпавшее число - нечётно, то вероятность того, что это - единица, будет уже 1/3. Задача Монти Холла, как и две другие приведённые задачи, показывают, что обращаться с условными вероятностями нужно аккуратно.

  Эти задачи также нередко называют парадоксами: парадокс Монти Холла, парадокс ящиков Бертрана (последний не следует путать с настоящим парадоксом Бертрана, приведённым в той же книге, который доказывал неоднозначность существовавшего на тот момент понятия вероятности) - что подразумевает некоторое противоречие (например, в «парадоксе Лжеца» фраза «это утверждение - ложно» противоречит закону исключённого третьего). В данном случае, однако, никакого противоречия со строгими утверждениями нет. Зато есть явное противоречие с « общественным мнением » или просто «очевидным решением» задачи. Действительно, большинство людей, глядя на задачу, полагают, что после открытия одной из дверей вероятность нахождения Приза за любой из двух оставшихся закрытыми равна 1/2. Тем самым они утверждают, что нет разницы, соглашаться или не соглашаться изменить своё решение. Более того, многие люди с трудом осознают ответ, отличный от этого, даже после того, как им было рассказано подробное решение.

  Ответ Монти Холла Стиву Селвину

  Г-ну Стиву Селвину,
  доценту биостатистики,
  Калифорнийский университет, Беркли.

  Уважаемый Стив,

  Благодарю Вас за то, что прислали мне задачу из «Американского статистика».

  Хотя я и не изучал статистику в университете, я знаю, что цифры всегда можно использовать в свою пользу, если бы я хотел ими манипулировать. Ваши рассуждения не учитывают одного существенного обстоятельства: после того как первый ящик оказывается пустым, участник уже не может поменять свой выбор. Так что вероятности остаются теми же: один из трёх, не так ли? Ну и, конечно, после того как один из ящиков оказывается пустым, шансы не становятся 50 на 50, а остаются теми же - один из трёх. Участнику только кажется, что, избавившись от одного ящика, он получает больше шансов. Вовсе нет. Два к одному против него, как было, так и осталось. И если Вы вдруг придёте ко мне на шоу, правила останутся теми же и для Вас: никакой смены ящиков после выбора.
  

  
  

  О лотереях

  Игра эта давно приобрела массовый характер и стала неотъемлемой частью современной жизни . И хотя лотерея всё больше расширяет свои возможности, многие люди по-прежнему видят в ней лишь способ обогащения. Пусть и не бесплатный и не надёжный. С другой стороны, как заметил один из героев Джека Лондона, в азартной игре нельзя не считаться с фактами - людям иногда везёт.

  Математика случая. История теории вероятностей

  Александр Буфетов

  Стенограмма и видеозапись лекции доктора физико-математических наук, ведущего научного сотрудника Математического института имени Стеклова, ведущего научного сотрудника ИППИ РАН, профессора факультета математики Высшей школы экономики, директора исследований Национального центра научных исследований во Франции (CNRS) Александра Буфетова, прочитанной в рамках цикла «Публичные лекции "Полит.ру"» 6 февраля 2014 г.

  Иллюзия закономерности: почему случайность кажется неестественной

  Наши представления о случайном, закономерном и невозможном часто расходятся с данными статистики и теории вероятностей. В книге «Несовершенная случайность. Как случай управляет нашей жизнью» американский физик и популяризатор науки Леонард Млодинов рассказывает о том, почему случайные алгоритмы выглядят так странно, в чем подвох «рандомной» тасовки песен на IPod и от чего зависит удача биржевого аналитика. «Теории и практики» публикуют отрывок из книги.

  Детерминизм

  Детерминизм — общенаучное понятие и философское учение о причинности, закономерности, генетической связи , взаимодействии и обусловленности всех явлений и процессов, происходящих в мире.

  Бог - это статистика

  Дебора Нолан, профессор статистики в Университете Калифорнии в Беркли, предлагает своим студентам выполнить очень странное на первый взгляд задание. Первая группа должна сто раз подбрасывать монетку и записывать результат: орёл или решка. Вторая должна представить, что подбрасывает монетку – и тоже составить список из сотни «мнимых» результатов.

  Что такое детерминизм

  Если известны начальные условия системы, можно, используя законы природы, предсказать ее конечное состояние.

  Задача о разборчивой невесте

  Гусейн-Заде С. М.

  Парадокс Зенона

  Можно ли из одной точки в пространстве добраться до другой? Древнегреческий философ Зенон Элейский считал, что перемещение невозможно осуществить вообще, но как он это аргументировал? Колм Келлер расскажет о том, как разрешить знаменитый парадокс Зенона.

  Парадоксы бесконечных множеств

  Представьте отель с бесконечным числом номеров. Приезжает автобус с бесконечным числом будущих постояльцев. Но разместить их всех - не так-то просто. Это бесконечная морока, а гости бесконечно уставшие. И если справиться с задачей не удастся, то можно потерять бесконечно много денег! Что же делать?

  Зависимость роста ребенка от роста родителей

  Молодым родителям, конечно, хочется знать, какого роста будет их ребенок, став взрослым. Математическая статистика может предложить простую линейную зависимость для приближен ной оценки роста детей, исходя только из роста отца и матери, а также указать точность такой оценки.

  Парадокс Монти Холла - наверно самый известный парадокс в теории вероятностей. Существует масса его вариаций, например, парадокс трёх узников. И существует масса толкований и объяснений этого парадокса. Но здесь, я хотел бы дать не только формальное объяснение, но показать «физическую» основу того, что происходит в парадоксе Монти Холла и ему подобных.

  Классическая формулировка такова:

  «Вы участник игры. Перед вами три двери. За одной из них приз. Ведущий предлагает вам попытаться угадать, где приз. Вы указываете на одну из дверей (наугад).

  Формулировка парадокса Монти Холла

  Ведущий знает, где на самом деле находится приз. Он, пока, не открывает ту дверь, на которую вы показали. Но открывает вам ещё одну из оставшихся дверей, за которой нет приза. Вопрос в том, сто́ит ли вам изменить свой выбор, или остаться при прежнем решении?»

  Оказывается, что если вы просто измените выбор, то ваши шансы выиграть возрастут!

  Парадоксальность ситуации очевидна. Кажется, что всё происходящее случайно. Нет никакой разницы, поменяете вы своё решение или нет. Но это не так.

  «Физическое» объяснение природы этого парадокса

  Давайте, сперва, не будем вдаваться в математические тонкости, а просто не предвзято посмотрим на ситуацию.

  В этой игре вы лишь сперва делаете случайный выбор. Потом ведущий сообщает вам дополнительную информацию , которая и позволяет вам увеличить свои шансы на победу.

  Каким образом ведущий сообщает вам дополнительную информацию? Очень просто. Обратите внимание, что он открывает не любую дверь.

  Давайте, для простоты (хоть в этом и есть элемент лукавства), рассмотрим более вероятную ситуацию: вы показали на дверь, за которой нет приза. Тогда, за одной из оставшихся дверей приз есть . То есть, у ведущего нет выбора. Он открывает вполне определённую дверь. (На одну указали вы, за другой есть приз, остаётся только одна дверь, которую может открыть ведущий.)

  Именно в этот момент осмысленного выбора, он и сообщает вам информацию, которой вы можете воспользоваться.

  В данном случае, использование информации заключается в том, что вы меняете решение.

  Кстати, ваш второй выбор уже тоже не случаен (вернее, не на столько случаен, как первый выбор). Ведь вы выбираете из закрытых дверей, а одна уже открыта и она не произвольная .

  Собственно, уже после этих рассуждений у вас может появиться ощущение, что лучше поменять решение. Это действительно так. Давайте покажем это более формально.

  Более формальное объяснение парадокса Монти Холла

  На самом деле ваш первый, случайный, выбор разбивает все двери на две группы. За той дверью, которую выбрали вы приз находится с вероятностью 1/3, за двумя другими - с вероятностью 2/3. Теперь ведущий вносит изменения: он открывает одну дверь во второй группе. И теперь вся вероятность 2/3 относится только к закрытой двери из группы из двух дверей.

  Понятно, что теперь вам выгодней поменять своё решение.

  Хотя, конечно, у вас остаётся шанс проиграть.

  Тем не менее смена выбора увеличивает ваши шансы на выигрыш.

  Парадокс Монти Холла

  Парадокс Монти Холла - вероятностная задача, решение которой (по мнению некоторых) противоречит здравому смыслу. Формулировка задачи:

  Представьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трех дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями - козы.
  Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где - козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза.

  Парадокс Монти Холла. Самая неточная математика

  После этого он спрашивает вас, не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2.
  Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?

  При решении задачи часто ошибочно полагают что два выбора являются независимыми и, следовательно, вероятность при изменении выбора не изменится. На самом деле это не так, в чём можно убедиться вспомнив формулу Байеса или посмотрев на результаты симуляции ниже:

  Здесь: «стратегия 1» - не менять выбор, «стратегия 2» - изменить выбор. Теоретически, для случая с 3-мя дверями, распределение вероятностей - 33,(3)% и 66,(6)%. При численной симуляции должны бы получаться похожие результаты.

  Ссылки

  Парадокс Монти Холла – задача из раздела теории вероятности, в решении которой просматривается противоречие здравому смыслу.

  История возникновения[править | править вики-текст]

  В конце 1963 года в эфир вышло новое ток-шоу под названием «Let’s Make a Deal» («Давайте договоримся»). По сценарию викторины зрители из аудитории получали призы за правильные ответы, имея шанс приумножить их, делая новые ставки, но рискуя имеющимся выигрышем. Основателями шоу являлись Стефан Хатосу и Монти Холл, последний из которых стал его неизменным ведущим на многие годы.

  Одним из заданий для участников стал розыгрыш Главного приза, который был расположен за одной из трех дверей. За двумя оставшимися находились поощрительные призы, в свою очередь ведущий знал порядок их расположения. Участнику необходимо было определить выигрышную дверь, поставив на кон весь свой выигрыш за шоу.

  Когда угадывающий определялся с номером, ведущий открывал одну из оставшихся дверей, за которой находился поощрительный приз, и предлагал игроку поменять первоначально выбранную дверь.

  Формулировки[править | править вики-текст]

  Как конкретную задачу, парадокс впервые сформулировал Стив Селвин (Steve Selvin) в 1975 году, отправивший в журнал The American Statistician («Американский статистик»), и ведущему Монти Холлу, вопрос: изменятся ли шансы участника выиграть Главный приз, если после открытия двери с поощрительным он поменяет свой выбор? После этого случая появилось понятие «Парадокс Монти Холла».

  В 1990 была в Parade Magazine (Журнал «Парад») опубликована самая распространенная версия парадокса с примером:

  «Представьте себя на телеигре, где нужно отдать предпочтенье одной из трех дверей: за двумя из них козы, а за третьей — автомобиль. Когда Вы совершите выбор, предположив, например, что выигрышная дверь номер один, ведущий открывает одну из оставшихся двух дверей, например, номер три, за которой коза. Затем Вам дается шанс изменить выбор на другую дверь? Можно ли увеличить шансы выиграть автомобиль, если поменять свой выбор с двери номер один на дверь номер два?»

  Эта формулировка является упрощенным вариантом, т.к. остается фактор влияния ведущего, который точно знает, где автомобиль и заинтересован в проигрыше участника.

  Чтоб задача стала сугубо математической, необходимо исключить человеческий фактор, введя открытие двери с поощрительным призом и возможность изменить первоначальный выбор как неотъемлемые условия.

  Решение[править | править вики-текст]

  При сравнении шансов на первый взгляд изменение номера двери не даст никаких преимуществ, т.к. все три варианта имеют шанс на выигрыш 1/3 (ок. 33,33% на каждую из трех дверей). При этом открытие одной из дверей никак не отразится на шансах двух оставшихся, чьи шансы станут 1/2 к 1/2 (50% на каждую из двух оставшихся дверей). В основу такого суждения ложится суждение, что выбор двери игроком и выбор двери ведущим – два независимых события, не влияющих одно на другое. В действительности необходимо рассматривать всю последовательность событий как единое целое. В соответствии с теорией вероятности, у первой выбранной двери шансы с начала и до конца игры неизменно 1/3 (ок.33,33%), а у двух оставшихся в сумме 1/3+1/3 = 2/3 (ок. 66,66%). Когда открывается одна из двух оставшихся дверей, ее шансы становятся 0% (за ней спрятан поощрительный приз), и как результат шансы закрытой невыбранной двери составят 66,66%, т.е. в два раза больше, чем у выбранной первоначально.

  Для облегчения понимания результатов выбора можно рассмотреть альтернативную ситуацию, в которой количество вариантов будет больше, например — тысяча. Вероятность выбрать выигрышный вариант составит 1/1000 (0,1%). При условии, что в последствии из оставшихся девятьсот девяносто девяти вариантов будут открыты девятьсот девяносто восемь неверных, становится очевидно, что вероятность одной оставшейся двери из девятьсот девяносто девяти невыбранных выше, чем у единственной, выбранной вначале.

  Упоминания[править | править вики-текст]

  Встретить упоминание Парадокса Монти Холла можно в «Двадцать одно» (фильма Роберта Лукетича), «Недотёпа» (романе Сергея Лукьяненко), телесериале «4исла» (телесериал), «Загадочное ночное убийство собаки» (повести Марка Хэддона), «XKCD» (комикс), «Разрушители легенд» (телешоу).

  См. также[править | править вики-текст]

  На изображении процесс выбора между двумя зарытыми дверьми из трех предложенных первоначально

  Примеры решений задач по комбинаторике

  Комбинаторика — это наука, с который каждый встречается в повседневной жизни: сколько способов выбрать 3 дежурных для уборки класса или сколько способов составить слово из данных букв.

  В целом, комбинаторика позволяет вычислить, сколько различных комбинаций, согласно некоторым условиям, можно составить из заданных объектов (одинаковых или разных).

  Как наука комбинаторика возникла еще в 16 веке, а теперь ее изучает каждый студент (и зачастую даже школьник). Начинают изучение с понятий перестановок, размещений, сочетаний (с повторениями или без), на эти темы вы найдете задачи и ниже. Наиболее известные правила комбинаторики — правила суммы и произведения, которые чаще всего применяются в типовых комбинаторных задачах.

  Ниже вы найдете несколько примеров задач с решениями на комбинаторные понятия и правила, которые позволят разобраться с типовыми заданиями. Если есть трудности с задачами — заказывайте контрольную по комбинаторике.

  Задачи по комбинаторике с решениями онлайн

  Задача 1. У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней подряд она выдает по одному фрукту. Сколькими способами это может быть сделано?

  Решение задачи по комбинаторике 1 (pdf, 35 Кб)

  Задача 2. Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой — 6 мужчинам, по третьей — 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?

  Решение задачи по комбинаторике 2 (pdf, 39 Кб)

  Задача 3. В пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в поезде 4 человека, при условии, что все они должны ехать в различных вагонах?

  Решение задачи по комбинаторике 3 (pdf, 33 Кб)

  Задача 4. В группе 9 человек. Сколько можно образовать разных подгрупп при условии, что в подгруппу входит не менее 2 человек?

  Решение задачи по комбинаторике 4 (pdf, 34 Кб)

  Задача 5. Группу из 20 студентов нужно разделить на 3 бригады, причем в первую бригаду должны входить 3 человека, во вторую - 5 и в третью - 12. Сколькими способами это можно сделать.

  Решение задачи по комбинаторике 5 (pdf, 37 Кб)

  Задача 6. Для участия в команде тренер отбирает 5 мальчиков из 10. Сколькими способами он может сформировать команду, если 2 определенных мальчика должны войти в команду?

  Задача по комбинаторике с решением 6 (pdf, 33 Кб)

  Задача 7. В шахматном турнире принимали участие 15 шахматистов, причем каждый из них сыграл только одну партию с каждым из остальных. Сколько всего партий было сыграно в этом турнире?

  Задача по комбинаторике с решением 7 (pdf, 37 Кб)

  Задача 8. Сколько различных дробей можно составить из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17 так, чтобы в каждую дробь входили 2 различных числа? Сколько среди них будет правильных дробей?

  Задача по комбинаторике с решением 8 (pdf, 32 Кб)

  Задача 9. Сколько слов можно получить, переставляя буквы в слове Гора и Институт?

  Задача по комбинаторике с решением 9 (pdf, 32 Кб)

  Задача 10. Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?

  Задача по комбинаторике с решением 10 (pdf, 39 Кб)

  Готовые примеры

  Нужны решенные задачи по комбинаторике? Найди в решебнике:

  Другие решения задач по теории вероятностей

  «Существуют три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика». Эта фраза, приписанная Марком Твеном премьер-министру Великобритании Бенджамину Дизраэли, неплохо отражает отношение большинства к математическим закономерностям. Действительно, теория вероятностей порой подкидывает удивительные факты , в которые сложно поверить с первого взгляда - и которые, тем не менее, подтверждены наукой. «Теории и практики» вспомнили самые известные парадоксы.

  Проблема Монти Холла

  Именно эту задачу в фильме «Двадцать одно» предложил студентам хитрый профессор MIT. Дав верный ответ, главный герой попадает в команду блестящих молодых математиков, обыгрывающих казино в Лас-Вегасе.

  Классическая формулировка звучит так: «Допустим, некоему игроку предложили поучаствовать в известном американском телешоу Let’s Make a Deal, которое ведет Монти Холл, и ему необходимо выбрать одну из трех дверей. За двумя дверьми находятся козы, за одной - главный приз, автомобиль, ведущий знает расположение призов. После того, как игрок делает свой выбор, ведущий открывает одну из оставшихся дверей, за которой находится коза, и предлагает игроку изменить свое решение. Стоит ли игроку согласиться или лучше сохранить свой первоначальный выбор?»

  Вот типичный ход рассуждений: после того, как ведущий открыл одну из дверей и показал козу, игроку остается выбрать между двумя дверями. Машина находится за одной из них, значит, вероятность ее угадать составляет ½. Так что нет разницы - менять свой выбор или нет. И тем не менее, теория вероятностей гласит, что можно увеличить свои шансы на выигрыш, изменив решение. Разберемся, почему это так.

  Для этого вернемся на шаг назад. В тот момент, когда мы сделали свой изначальный выбор, мы разделили двери на две части: выбранная нами и две остальные. Очевидно, что вероятность того, что автомобиль прячется за «нашей» дверью, составляет ⅓ - соответственно, автомобиль находится за одной из двух оставшихся дверей с вероятностью ⅔. Когда ведущий показывает, что за одной из этих дверей - коза, получается, что эти ⅔ шанса приходятся на вторую дверь. А это сводит выбор игрока к двум дверям, за одной из которых (изначально выбранной) автомобиль находится с вероятностью ⅓, а за другой - с вероятностью ⅔. Выбор становится очевидным. Что, разумеется, не отменяет того факта, что с самого начала игрок мог выбрать дверь с автомобилем.

  Задача трех узников

  Парадокс трех узников схож с проблемой Монти Холла, хотя действие разворачивается в более драматических условиях. Трое заключенных (А, Б и В) приговорены к смертной казни и помещены в одиночные камеры. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и дает ему помилование. Надзиратель знает, кто из троих помилован, но ему велено держать это в тайне. Узник A просит стражника сказать ему имя второго заключенного (кроме него самого), который точно будет казнен: «если Б помилован, скажи мне, что казнен будет В. Если помилован В, скажи мне, что казнен будет Б. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи любое из этих двух имен». Надзиратель говорит, что будет казнен узник Б. Стоит ли радоваться узнику А?

  Казалось бы, да. Ведь до получения этой информации вероятность смерти узника А составляла ⅔, а теперь он знает, что один из двух других узников будет казнен - значит, вероятность его казни снизилась до ½. Но на самом деле узник А не узнал ничего нового: если помилован не он, ему назовут имя другого узника, а он и так знал, что кого-то из двоих оставшихся казнят. Если же ему повезло, и казнь отменили, он услышит случайное имя Б или В. Поэтому его шансы на спасение никак не изменились.

  А теперь представим, что кто-то из оставшихся узников узнает о вопросе узника А и полученном ответе. Это изменит его представления о вероятности помилования.

  Если разговор подслушал узник Б, он узнает, что его точно казнят. А если узник В, то вероятность его помилования будет составлять ⅔. Почему так произошло? Узник А не получил никакой информации, и его шансы на помилование по-прежнему ⅓. Узник Б точно не будет помилован, и его шансы равны нулю. Значит, вероятность того, что на свободу выйдет третий узник, равна ⅔.

  Парадокс двух конвертов

  Этот парадокс стал известен благодаря математику Мартину Гарднеру, и формулируется следующим образом: «Предположим, вам с другом предложили два конверта, в одном из которых лежит некая сумма денег X, а в другом - сумма вдвое больше. Вы независимо друг от друга вскрываете конверты, пересчитываете деньги, после чего можете обменяться ими. Конверты одинаковые, поэтому вероятность того, что вам достанется конверт с меньшей суммой, составляет ½. Допустим, вы открыли конверт и обнаружили в нем $10. Следовательно, в конверте вашего друга может быть равновероятно $5 или $20. Если вы решаетесь на обмен, то можно подсчитать математическое ожидание итоговой суммы - то есть, ее среднее значение. Она составляет 1/2х$5+1/2×20=$12,5. Таким образом, обмен вам выгоден. И, скорее всего, ваш друг будет рассуждать точно так же. Но очевидно, что обмен не может быть выгоден вам обоим. В чем же ошибка?»

  Парадокс заключается в том, что пока вы не вскрыли свой конверт, вероятности ведут себя добропорядочно: у вас действительно 50-процентный шанс обнаружить в своем конверте сумму X и 50-процентный - сумму 2X. И здравый смысл подсказывает, что информация об имеющейся у вас сумме не может повлиять на содержимое второго конверта.

  Тем не менее, как только вы вскрываете конверт, ситуация кардинально меняется (этот парадокс чем-то похож на историю с котом Шредингера , где само наличие наблюдателя влияет на положение дел). Дело в том, что для соблюдения условий парадокса вероятность нахождения во втором конверте большей или меньшей суммы, чем у вас, должна быть одинаковой. Но тогда равновероятно любое значение этой суммы от нуля до бесконечности. А если равновероятно бесконечное число возможностей, в сумме они дают бесконечность. А это невозможно.

  Для наглядности можно представить, что вы обнаруживаете в своем конверте один цент. Очевидно, что во втором конверте не может быть суммы вдвое меньше.

  Любопытно, что дискуссии относительно разрешения парадокса продолжаются и в настоящее время. При этом предпринимаются попытки как объяснить парадокс изнутри, так и выработать наилучшую стратегию поведения в подобной ситуации. В частности, профессор Томас Кавер предложил оригинальный подход к формированию стратегии - менять или не менять конверт, руководствуясь неким интуитивным ожиданием. Скажем, если вы открыли конверт и обнаружили в нем $10 - небольшую сумму по вашим прикидкам - стоит его обменять. А если в конверте, скажем, $1 000, что превосходит ваши самые смелые ожидания, то меняться не надо. Эта интуитивная стратегия в случае, если вам регулярно предлагают выбирать два конверта, дает возможность увеличить суммарный выигрыш больше, чем стратегия постоянной смены конвертов.

  Парадокс мальчика и девочки

  Этот парадокс был также предложен Мартином Гарднером и формулируется так: «У мистера Смита двое детей. Хотя бы один ребенок - мальчик. Какова вероятность того, что и второй - тоже мальчик?»

  Казалось бы, задача проста. Однако если начать разбираться, обнаруживается любопытное обстоятельство: правильный ответ будет отличаться в зависимости от того, каким образом мы будем подсчитывать вероятность пола другого ребенка.

  Вариант 1

  Рассмотрим все возможные комбинации в семьях с двумя детьми:

  Девочка/Девочка

  Девочка/Мальчик

  Мальчик/Девочка

  Мальчик/Мальчик

  Вариант девочка/девочка нам не подходит по условиям задачи. Поэтому для семьи мистера Смита возможны три равновероятных варианта - а значит, вероятность того, что другой ребенок тоже окажется мальчиком, составляет ⅓. Именно такой ответ и давал сам Гарднер первоначально.

  Вариант 2

  Представим, что мы встречаем мистера Смита на улице, когда он гуляет с сыном. Какова вероятность того, что второй ребенок - тоже мальчик? Поскольку пол второго ребенка никак не зависит от пола первого, очевидным (и правильным) ответом является ½.

  Почему так происходит, ведь, казалось бы, ничего не изменилось?

  Все зависит от того, как мы подходим к вопросу подсчета вероятности. В первом случае мы рассматривали все возможные варианты семьи Смита. Во втором - мы рассматривали все семьи, подпадающие под обязательное условие «должен быть один мальчик». Расчет вероятности пола второго ребенка велся с этим условием (в теории вероятностей это называется « условная вероятность »), что и привело к результату, отличному от первого.

  просмотров