§1. основные цели, определения и принципы математического моделирования, виды моделей

По учебнику Советова и Яковлева : «модель (лат. modulus - мера) - это объект-заместитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала.» (с. 6) «Замещение одного объекта другим с целью получения информации о важнейших свойствах объекта-оригинала с помощью объекта-модели называется моделированием.» (с. 6) «Под математическим моделированием будем понимать процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью, и исследование этой модели, позволяющее получать характеристики рассматриваемого реального объекта. Вид математической модели зависит как от природы реального объекта, так и задач исследования объекта и требуемой достоверности и точности решения этой задачи.»

Наконец, наиболее лаконичное определение математической модели: "Уравнение , выражающее идею . "

Классификация моделей

Формальная классификация моделей

Формальная классификация моделей основывается на классификации используемых математических средств. Часто строится в форме дихотомий. Например, один из популярных наборов дихотомий :

и так далее. Каждая построенная модель является линейной или нелинейной, детерминированной или стохастической, … Естественно, что возможны и смешанные типы: в одном отношении сосредоточенные (по части параметров), в другом - распределённые модели и т. д.

Классификация по способу представления объекта

Наряду с формальной классификацией, модели различаются по способу представления объекта:

• Структурные или функциональные модели

Структурные модели представляют объект как систему со своим устройством и механизмом функционирования. Функциональные модели не используют таких представлений и отражают только внешне воспринимаемое поведение (функционирование) объекта. В их предельном выражении они называются также моделями «чёрного ящика» Возможны также комбинированные типы моделей, которые иногда называют моделями «серого ящика».

Содержательные и формальные модели

Практически все авторы, описывающие процесс математического моделирования, указывают, что сначала строится особая идеальная конструкция, содержательная модель . Устоявшейся терминологии здесь нет, и другие авторы называют этот идеальный объект концептуальная модель , умозрительная модель или предмодель . При этом финальная математическая конструкция называется формальной моделью или просто математической моделью, полученной в результате формализации данной содержательной модели (предмодели). Построение содержательной модели может производиться с помощью набора готовых идеализаций, как в механике, где идеальные пружины, твёрдые тела , идеальные маятники, упругие среды и т. п. дают готовые структурные элементы для содержательного моделирования. Однако в областях знания, где не существует полностью завершенных формализованных теорий (передний край физики , биология , экономика , социология , психология , и большинство других областей), создание содержательных моделей резко усложняется.

Содержательная классификация моделей

Никакая гипотеза в науке не бывает доказана раз и навсегда. Очень чётко это сформулировал Ричард Фейнман :

«У нас всегда есть возможность опровергнуть теорию, но, обратите внимание, мы никогда не можем доказать, что она правильна. Предположим, что вы выдвинули удачную гипотезу, рассчитали, к чему это ведет, и выяснили, что все ее следствия подтверждаются экспериментально. Значит ли это, что ваша теория правильна? Нет, просто-напросто это значит, что вам не удалось ее опровергнуть.»

Если модель первого типа построена, то это означает что она временно признаётся за истину и можно сконцентрироваться на других проблемах. Однако это не может быть точкой в исследованиях, но только вре́менной паузой: статус модели первого типа может быть только вре́менным.

Тип 2: Феноменологическая модель ( ведем себя так, как если бы …)

Феноменологическая модель содержит механизм для описания явления. Однако этот механизм недостаточно убедителен, не может быть достаточно подтверждён имеющимися данными или плохо согласуется с имеющимися теориями и накопленным знанием об объекте. Поэтому феноменологические модели имеют статус вре́менных решений. Считается, что ответ всё ещё неизвестен и необходимо продолжить поиск «истинных механизмов». Ко второму типу Пайерлс относит, например, модели теплорода и кварковую модель элементарных частиц.

Роль модели в исследовании может меняться со временем, может случиться так, что новые данные и теории подтвердят феноменологические модели и те будут повышены до статуса гипотезы. Аналогично, новое знание может постепенно прийти в противоречие с моделями-гипотезами первого типа и те могут быть переведены во второй. Так, кварковая модель постепенно переходит в разряд гипотез; атомизм в физике возник как временное решение, но с ходом истории перешёл в первый тип. А вот модели эфира , проделали путь от типа 1 к типу 2, а сейчас находятся вне науки.

Идея упрощения очень популярна при построении моделей. Но упрощение бывает разным. Пайерлс выделяет три типа упрощений в моделировании.

Тип 3: Приближение ( что-то считаем очень большим или очень малым )

Если можно построить уравнения, описывающие исследуемую систему, то это не значит, что их можно решить даже с помощью компьютера. Общепринятый прием в этом случае - использование приближений (моделей типа 3). Среди них модели линейного отклика . Уравнения заменяются линейными. Стандартный пример - закон Ома .

А вот и тип 8, широко распространенный в математических моделях биологических систем.

Тип 8: Демонстрация возможности ( главное - показать внутреннюю непротиворечивость возможности )

Это тоже мысленные эксперименты с воображаемыми сущностями, демонстрирующие, что предполагаемое явление согласуется с базовыми принципам и внутренне непротиворечиво. В этом основное отличие от моделей типа 7, которые вскрывают скрытые противоречия.

Один из самых знаменитых таких экспериментов - геометрия Лобачевского (Лобачевский называл её «воображаемой геометрией»). Другой пример - массовое производство формально - кинетических моделей химических и биологических колебаний, автоволн и др. Парадокс Эйнштейна - Подольского - Розена был задуман как модель 7 типа, для демонстрации противоречивости квантовой механики. Совершенно незапланированным образом он со временем превратился в модель 8 типа - демонстрацию возможности квантовой телепортации информации.

Пример

Рассмотрим механическую систему, состоящую из пружины, закрепленной с одного конца, и груза массой m , прикрепленного к свободному концу пружины. Будем считать, что груз может двигаться только в направлении оси пружины (например, движение происходит вдоль стержня). Построим математическую модель этой системы. Будем описывать состояние системы расстоянием x от центра груза до его положения равновесия. Опишем взаимодействие пружины и груза с помощью закона Гука ( F = − k x ) после чего воспользуемся вторым законом Ньютона , чтобы выразить его в форме дифференциального уравнения :

где означает вторую производную от x по времени: .

Полученное уравнение описывает математическую модель рассмотренной физической системы. Эта модель называется «гармоническим осциллятором ».

По формальной классификация эта модель линейная, детерминисткая, динамическая, сосредоточенная, непрерывная. В процессе её построения мы сделали множество допущений (об отсутствии внешних сил, отсутствии трения, малости отклонений и т.~д.), которые в реальности могут не выполняться.

По отношению к реальности это, чаще всего, модель типа 4 упрощение («опустим для ясности некоторые детали»), поскольку опущены некоторые существенные универсальные особенности (например, диссипация). В некотором приближении (скажем, пока отклонение груза от равновесия невелико, при малом трении, в течение не слишком большого времени и при соблюдении некоторых других условий), такая модель достаточно хорошо описывает реальную механическую систему, поскольку отброшенные факторы оказывают пренебрежимо малое влияние на её поведение. Однако модель можно уточнить, приняв во внимание какие-то из этих факторов. Это приведет к новой модели, с более широкой (хотя и снова ограниченной) областью применимости.

Впрочем, при уточнении модели сложность её математического исследования может существенно возрасти и сделать модель фактически бесполезной. Зачастую более простая модель позволяет лучше и глубже исследовать реальную систему, чем более сложная (и, формально, «более правильная»).

Если применять модель гармонического осциллятора к объектам, далёким от физики, её содержательный статус может быть другим. Например, при приложении этой модели к биологическим популяциям, её следует отнести, скорее всего, к типу 6 аналогия («учтём только некоторые особенности»).

Жёсткие и мягкие модели

Гармонический осциллятор - пример так называемой «жёсткой» модели. Она получена в результате сильной идеализации реальной физической системы. Для решения вопроса о её применимости необходимо понять, насколько существенными являются факторы, которыми мы пренебрегли. Иными словами, нужно исследовать «мягкую» модель, получающуюся малым возмущением «жёсткой». Она может задаваться, например, следующим уравнением:

Здесь - некоторая функция, в которой может учитываться сила трения или зависимость коэффициента жёсткости пружины от степени её растяжения, - некоторый малый параметр. Явный вид функции f нас в данный момент не интересует. Если мы докажем, что поведение мягкой модели принципиально не отличается от поведения жёсткой (вне зависимости от явного вида возмущающих факторов, если они достаточно малы), задача сведется к исследованию жёсткой модели. В противном случае применение результатов, полученных при изучении жёсткой модели, потребует дополнительных исследований. Например, решением уравнения гармонического осциллятора являются функции вида , то есть колебания с постоянной амплитудой. Следует ли из этого, что реальный осциллятор будет бесконечно долго колебаться с постоянной амплитудой? Нет, поскольку рассматривая систему со сколь угодно малым трением (всегда присутствующим в реальной системе), мы получим затухающие колебания . Поведение системы качественно изменилось.

Если система сохраняет свое качественное поведение при малом возмущении, говорят, что она структурно устойчива. Гармонический осциллятор - пример структурно-неустойчивой (негрубой) системы. Тем не менее, эту модель можно применять для изучения процессов на ограниченных промежутках времени.

Универсальность моделей

Важнейшие математические модели обычно обладают важным свойством универсальности : принципиально разные реальные явления могут описываться одной и той же математической моделью. Скажем, гармонический осциллятор описывает не только поведение груза на пружине, но и другие колебательные процессы, зачастую имеющие совершенно иную природу: малые колебания маятника, колебания уровня жидкости в U -образном сосуде или изменение силы тока в колебательном контуре. Таким образом, изучая одну математическую модель, мы изучаем сразу целый класс описываемых ею явлений. Именно этот изоморфизм законов, выражаемых математическими моделями в различных сегментах научного знания, подвиг Людвига фон Берталанфи на создание «Общей теории систем ».

Прямая и обратная задачи математического моделирования

Существует множество задач, связанных с математическим моделированием. Во-первых, надо придумать основную схему моделируемого объекта, воспроизвести его в рамках идеализаций данной науки. Так, вагон поезда превращается в систему пластин и более сложных тел из разных материалов, каждый материал задается как его стандартная механическая идеализация (плотность, модули упругости, стандартные прочностные характеристики), после чего составляются уравнения, по дороге какие-то детали отбрасываются, как несущественные, производятся расчёты, сравниваются с измерениями, модель уточняется, и так далее. Однако для разработки технологий математического моделирования полезно разобрать этот процесс на основные составные элементы.

Традиционно выделяют два основных класса задач, связанных с математическими моделями: прямые и обратные.

Прямая задача : структура модели и все её параметры считаются известными, главная задача - провести исследование модели для извлечения полезного знания об объекте. Какую статическую нагрузку выдержит мост? Как он будет реагировать на динамическую нагрузку (например, на марш роты солдат, или на прохождение поезда ни различной скорости), как самолёт преодолеет звуковой барьер, не развалится ли он от флаттера , - вот типичные примеры прямой задачи. Постановка правильной прямой задачи (задание правильного вопроса) требует специального мастерства. Если не заданы правильные вопросы, то мост может обрушиться, даже если была построена хорошая модель для его поведения. Так, в 1879 г. в Англии обрушился металлический мост через реку Тей , конструкторы которого построили модель моста, рассчитали его на 20-кратный запас прочности на действие полезной нагрузки, но забыли о постоянно дующих в тех местах ветрах. И через полтора года он рухнул.

В простейшем случае (одно уравнение осциллятора, например) прямая задача очень проста и сводится к явному решению этого уравнения.

Обратная задача : известно множество возможных моделей, надо выбрать конкретную модель на основании дополнительных данных об объекте. Чаще всего, структура модели известна, и необходимо определить некоторые неизвестные параметры. Дополнительная информация может состоять в дополнительных эмпирических данных, или в требованиях к объекту ( задача проектирования ). Дополнительные данные могут поступать независимо от процесса решения обратной задачи ( пассивное наблюдение ) или быть результатом специально планируемого в ходе решения экперимента ( активное наблюдение ).

Одним из первых примеров виртуозного решения обратной задачи с максимально полным использованием доступных данных был построенный И. Ньютоном метод восстановления сил трения по наблюдаемым затухающим колебаниям.

Дополнительные примеры

где x s - «равновесный» размер популяции, при котором рождаемость в точности компенсируется смертностью. Размер популяции в такой модели стремится к равновесному значению x s , причем такое поведение структурно устойчиво.

Эта система имеет равновесное состояние , когда число кроликов и лис постоянно. Отклонение от этого состояния приводит к колебаниям численности кроликов и лис, аналогичным колебаниям гармонического осциллятора . Как и в случае гармонического осциллятора, это поведение не является структурно устойчивым : малое изменение модели (например, учитывающее ограниченность ресурсов, необходимых кроликам) может привести к качественному изменению поведения . Например, равновесное состояние может стать устойчивым, и колебания численности будут затухать . Возможна и противоположная ситуация, когда любое малое отклонение от положения равновесия приведет к катастрофическим последствиям, вплоть до полного вымирания одного из видов. На вопрос о том, какой из этих сценариев реализуется, модель Вольтерра - Лотки ответа не дает: здесь требуются дополнительные исследования.

Примечания

1. «A mathematical representation of reality»(Encyclopaedia Britanica)
2. Новик И. Б. , О философских вопросах кибернетического моделирования. М., Знание, 1964.
3. Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
4. Самарский А. А. , Михайлов А. П. Математическое моделирование. Идеи. Методы. Примеры. . - 2-е изд., испр.. - М.: Физматлит, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
6. Wiktionary: mathematical model
7. CliffsNotes
8. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
9. «Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой - линейный или нелинейный - математический аппарат, какие - линейные или нелинейные - математические модели она использует. … ез отрицание последней. Современный физик, доведись ему заново создавать определение столь важной сущности, как нелинейность, скорее всего, поступил бы иначе, и, отдав предпочтение нелинейности как более важной и распространенной из двух противоположностей, определил бы линейность как „не нелинейность“.» Данилов Ю. А. , Лекции по нелинейной динамике. Элементарное введение. Серия «Синергетика: от прошлого к будущему». Изд.2. - M.: URSS, 2006. - 208 с. ISBN 5-484-00183-8
10. «Динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений , называют сосредоточенными или точечными системами. Они описываются с помощью конечномерного фазового пространства и характеризуются конечным числом степеней свободы. Одна и та же система в различных условиях может рассматриваться либо как сосредоточенная, либо как распределенная. Математические модели распределенных систем - это дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные уравнения или обыкновенные уравнения с запаздывающим аргументом. Число степеней свободы распределенной системы бесконечно, и требуется бесконечное число данных для определения ее состояния.» Анищенко В. С. , Динамические системы, Соросовский образовательный журнал, 1997, № 11, с. 77-84.
11. «В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S все виды моделирования могут быть разделены на детерминированные и стохастические, статические и динамические, дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные. Детерминированное моделирование отображает детерминированные процессы, то есть процессы, в которых предполагается отсутствие всяких случайных воздействий; стохастическое моделирование отображает вероятностные процессы и события. … Статическое моделирование служит для описания поведения объекта в какой-либо момент времени, а динамическое моделирование отражает поведение объекта во времени. Дискретное моделирование служит для описания процессов, которые предполагаются дискретными, соответственно непрерывное моделирование позволяет отразить непрерывные процессы в системах, а дискретно-непрерывное моделирование используется для случаев, когда хотят выделить наличие как дискретных, так и непрерывных процессов.» Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2
12. Обычно в математической модели отражается структура (устройство) моделируемого объекта, существенные для целей исследования свойства и взаимосвязи компонентов этого объекта; такая модель называется структурной. Если же модель отражает только то, как объект функционирует - например, как он реагирует на внешние воздействия,- то она называется функциональной или, образно, черным ящиком. Возможны и модели комбинированного типа. Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4
13. «Очевидный, но важнейший начальный этап построения или выбора математической модели - это получение по возможности более четкого представления о моделируемом объекте и уточнение его содержательной модели, основанное на неформальных обсуждениях. Нельзя жалеть времени и усилий на этот этап, от него в значительной мере зависит успех всего исследования. Не раз бывало, что значительный труд, затраченный на решение математической задачи, оказывался малоэффективным или даже потраченным впустую из-за недостаточного внимания к этой стороне дела.» Мышкис А. Д. , Элементы теории математических моделей. - 3-е изд., испр. - М.: КомКнига, 2007. - 192 с ISBN 978-5-484-00953-4, с. 35.
14. « Описание концептуальной модели системы. На этом подэтапе построения модели системы: а) описывается концептуальная модель М в абстрактных терминах и понятиях; б) дается описание модели с использованием типовых математических схем; в) принимаются окончательно гипотезы и предположения; г) обосновывается выбор процедуры аппроксимации реальных процессов при построении модели.» Советов Б. Я., Яковлев С. А. , Моделирование систем: Учеб. для вузов - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 2001. - 343 с. ISBN 5-06-003860-2, с. 93.

ЛЕКЦИЯ 4

Определение и назначение математического моделирования

Под моделью (от латинского modulus - мера, образец, норма) будем понимать такой материально или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Процесс построения и использования модели называется моделированием.

Суть математического моделирования ( ММ ) заключается в замене изучаемого объекта (процесса) адекватной математической моделью и последующем исследовании свойств этой модели с помощью либо аналитических методов, либо вычислительных экспериментов.

Иногда полезнее вместо того, чтобы давать строгие определения, описывать то или инее понятие на конкретном примере . Поэтому проиллюстри-руем приведенные выше определения ММ на примере задачи расчета удельного импульса. В начале 60-х годов перед учеными ставилась задача разработки ракетного топлива с наибольшим удельным импульсом. Принцип движения ракеты состоит в следующем: жидкое топливо и окислитель из баков ракеты подаются в двигатель, где происходит их сгорание, а продукты сгорания вылетают в атмосферу. Из закона сохранения импульса следует, что в этом ракета будет двигаться со скоростью.

Удельный импульс топлива – это полученный импульс, деленный на массу топлива. Проведение экспериментов было очень дорогостоящим и приводило к систематической порче оборудования. Оказалось, что легче и дешевле рассчитать термодинамические функции идеальных газов, вычислить с их помощью состав вылетающих газов и температуру плазмы, а затем и удельный импульс. То есть провести ММ процесса горения топлива.

Понятие математического моделирования (ММ) сегодня одно из самых распространенных в научной литературе . Подавляющее большинство современных дипломных и диссертационных работ связано с разработкой и использованием соответствующих математических моделей. Компьютерное ММ сегодня является составной частью многих областей человеческой деятельности (наука, техника, экономика, социология и т. д.). Это одна из причин сегодняшнего дефицита специалистов в области информационных технологий .

Бурный рост математического моделирования обусловлен стремительным совершенствованием вычислительной техники. Если еще 20 лет назад проведением численных расчетов занималось лишь небольшое число программистов, то теперь объем памяти и быстродействие современных компьютеров, позволяющих решать задачи математического моделирования доступных всем специалистам, включая студентов ВУЗов.

В любой дисциплине вначале дается качественное описание явлений. А затем уже – количественное, сформулированное в виде законов, устанавливающих связи между различными величинами (напряженность поля, интенсивность рассеяния, заряд электрона, …) в форме математических уравнений. Поэтому можно сказать, что в каждой дисциплине столько науки, сколько в ней есть математики, и этот факт позволяет успешно решать многие задачи методами математического моделирования.

Данный курс предназначен для студентов, специализирующихся в области прикладной математики, которые выполняют дипломные работы под руководством ведущих ученых, работающих в различных областях. Поэтому данный курс необходим не только как учебный материал , но и как подготовка к дипломной работе. Для изучения данного курса нам будут необходимы следующие разделы математики:

1. Уравнения математической физики (кантовая механика, газо - и гидродинамика)

2. Линейная алгебра (теория упругости)

3. Скалярные и векторные поля (теория поля)

4. Теория вероятностей (квантовая механика, статистическая физика, физическая кинетика)

5. Специальные функции.

6. Тензорный анализ (теория упругости)

7. Математический анализ

ММ в естествознании, технике, и экономике

Рассмотрим вначале различные разделы естествознания, техники, экономики, в которых используются математические модели.

Естествознание

Физика, устанавливающая основные законы естествознания, давно разделилась на теоретическую и экспериментальную. Выводом уравнений, описывающих физические явления , занимается теоретическая физика. Таким образом, теоретическая физика также может считаться одним из направлений математического моделирования. (Вспомним, что название первой книги по физике – «Математические начала натуральной философии» И. Ньютона можно перевести на современный язык как «Математические модели естествознания».) На основании полученных законов проводятся инженерные расчеты, которые проводятся в различных институтах, фирмах, КБ. Эти организации разрабатывают технологии изготовления современной продукции, которые являются наукоемкими.Таким образом, понятие наукоемкие технологии включает в себя расчеты с помощью соответствующих математических моделей.

Один из наиболее обширных разделов физики – классическая механика (иногда этот раздел называется теоретической или аналитической механикой). Данный раздел теоретической физики изучает движение и взаимодействие тел. Расчеты с помощью формул теоретической механики необходимы при изучении вращения тел (расчет моментов инерции, гиростатов – устройств сохраняющих в неподвижности оси вращения), анализе движения тела в безвоздушном пространстве, и др. Один из разделов теоретической механики называется теорией устойчивости и лежит в основе многих математических моделей, описывающих движение самолетов, кораблей, ракет. Разделы практической механики – курсы «Теория машин и механизмов», «Детали машин», изучается студентами почти всех технических вузов (включая МГИУ).

Теория упругости – часть раздела механики сплошных сред , предполагающая, что материал упругого тела однороден и непрерывно распределен по всему объему тела, так что самый малый элемент, вырезанный из тела, обладает теми же физическими свойствами, что и все тело. Приложение теории упругости – курс «сопротивление материалов», изучается студентами всех технических вузов (включая МГИУ). Данный раздел необходим для всех расчетов прочности. Здесь и расчет прочности корпусов кораблей, самолетов, ракет, расчет прочности стальных и железобетонных конструкций зданий и многое другое.

Газо- и гидродинамика , как и теория упругости – часть раздела механики сплошных сред , рассматривает законы движения жидкости и газа. Уравнения газо - и гидродинамики необходимы при анализе движения тел в жидкой и газообразной среде (спутники, подводные лодки, ракеты, снаряды, автомобили), при расчетах истечения газа из сопел двигателей ракет, самолетов. Практическое приложение гидродинамики – гидравлика (тормоз, руль,…)

Предыдущие разделы механики рассматривали движении тел в макромире, и физические законы макромира неприменимы в микромире, в котором движутся частицы вещества - протоны, нейтроны, электроны. Здесь действуют совершенно другие принципы, и для описания микромира необходима квантовая механика . Основное уравнение, описывающее поведение микрочастиц - уравнение Шредингера: . Здесь - оператор Гамильтона (гамильтониан). Для одномерного уравнения движения частицы https://pandia.ru/text/78/009/images/image005_136.gif" width="35" height="21 src=">-потенциальная энергия. Решение этого уравнения – набор собственных значений энергии и собственных функций..gif" width="55" height="24 src=">– плотность вероятности. Квантовомеханические расчеты нужны для разработки новых материалов (микросхемы), создания лазеров, разработки методов спектрального анализа, и др.

Большое количество задач решает кинетика , описывающая движение и взаимодействие частиц. Здесь и диффузия , теплообмен, теория плазмы – четвертого состояния вещества.

Статистическая физика рассматривает ансамбли частиц, позволяет сказать о параметрах ансамбля, исходя из свойств отдельных частиц. Если ансамбль состоит из молекул газа, то выведенные методами статистической физики свойства ансамбля представляют собой хорошо известные со средней школы уравнения газового состояния: https://pandia.ru/text/78/009/images/image009_85.gif" width="16" height="17 src=">.gif" width="16" height="17">-молекулярный вес газа. К – постоянная Ридберга. Статистическими методами рассчитываются также свойства растворов, кристаллов, электронов в металлах. ММ статистической физики – теоретическая основа термодинамики, которая лежит в основе расчета двигателей, тепловых сетей и станций.

Теория поля описывает методами ММ одну из основных форм материи – поле. При этом основной интерес представляют электромагнитные поля. Уравнения электромагнитного поля (электродинамики) были выведены Максвеллом: , , , . Здесь и https://pandia.ru/text/78/009/images/image018_44.gif" width="16" height="17"> - плотность заряда, -плотность тока. Уравнения электродинамики лежат в основе расчетов распространения электромагнитных волн, необходимых для описания распространения радиоволн (радио, телевидение, сотовая связь), объяснения работы радиолокационных станций.

Химию можно представить в двух аспектах, выделяя описательную химию – открытие химических факторов и их описание – и теоретическую химию – разработку теорий, позволяющих обобщить установленные факторы и представить их в виде определенной системы (Л. Полинг). Теоретическая химия называется также физической химией и является, в сущности, разделом физики, изучающей вещества и их взаимодействия. Поэтому все, что было сказано относительно физики, в полной мере относится и к химии. Разделами физической химии будут термохимия, изучающая тепловые эффекты реакций, химическая кинетика (скорости реакций), квантовая химия (строение молекул). При этом задачи химии бывают чрезвычайно сложными. Так, например, для решения задач квантовой химии – науки о строении атомов и молекул, используются программы, сравнимые по объему с программами ПВО страны. Например, для того, чтобы описать молекулу UCl4, состоящую из 5 ядер атомов и +17*4) электронов, нужно записать уравнение движения – уравнения в частных производных.

Биология

В биологию математика пришла по настоящему только во второй половине 20 века. Первые попытки математически описать биологические процессы относятся к моделям популяционной динамики. Популяцией называется сообщество особей одного вида, занимающих некоторую область пространства на Земле. Эта область математической биологии, изучающая изменение численности популяции в различных условиях (наличие конкурирующих видов, хищников, болезней и т. п.) и в дальнейшем служила математическим полигоном, на котором "отрабатывались" математические модели в разных областях биологии. В том числе модели эволюции, микробиологии, иммунологии и других областей, связанных с клеточными популяциями.
Самая первая известная модель, сформулированная в биологической постановке, ‑ знаменитый ряд Фибоначчи (каждое последующее число является суммой двух предыдущих), который приводит в своем труде Леонардо из Пизы в 13 веке. Это ряд чисел, описывающий количество пар кроликов, которые рождаются каждый месяц, если кролики начинают размножаться со второго месяца и каждый месяц дают потомство в виде пары кроликов. Ряд представляет последовательность чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …

1,

2 ,

3,

5,

8, 13, …

Другим примером является изучение процессов ионного трансмембранного переноса на искусственной бислойной мембране. Здесь для того, чтобы изучить законы образования поры, через которую ион проходит сквозь мембрану внутрь клетки, необходимо создать модельную систему, которую можно изучать экспериментально, и для которой можно использовать хорошо разработанное наукой физическое описание.

Классическим примером ММ также является популяция дрозофилы. Еще более удобной моделью являются вирусы , которые можно размножать в пробирке. Методами моделирования в биологии служат методы динамической теории систем, а средствами - дифференциальные и разностные уравнения, методы качественной теории дифференциальных уравнений, имитационное моделирование.
Цели моделирования в биологии:
3. Выяснение механизмов взаимодействия элементов системы
4. Идентификация и верификация параметров модели по экспериментальным данным.
5. Оценка устойчивости системы (модели).

6. Прогноз поведения системы при различных внешних воздействиях, различных способах управления и проч.
7. Оптимальное управление системой в соответствии с выбранным критерием оптимальности .

Техника

Совершенствованием техники занимается большое количество специалистов, которые в своей работе опираются на результаты научных исследований. Поэтому ММ в технике те же самые, что и ММ естествознания, о которых говорилось выше.

Экономика и социальные процессы

Принято считать, что математическое моделирование как метод анализа макроэкономических процессов было впервые применено лейб-медиком короля Людовика XV доктором Франсуа Кенэ , который в 1758 г. опубликовал работу «Экономическая таблица». В этой работе была сделана первая попытка количественно описать национальную экономику. А в 1838 г. в книге О. Курно «Исследование математических принципов теории богатства» количественные методы были впервые использованы для анализа конкуренции на рынке товара при различных рыночных ситуациях.

Широко известна также теория Мальтуса о народонаселении, в которой он предложил идею: рост населения далеко не всегда желателен, и рост этот идет быстрее, чем растут возможности обеспечения населения продовольствием. Математическая модель такого процесса достаточно проста: Пусть - прирост численности населения за время https://pandia.ru/text/78/009/images/image027_26.gif" width="15" height="24"> численность была равна . и - коэффициенты, учитывающие рождаемость и смертность (чел/год). Тогда

https://pandia.ru/text/78/009/images/image032_23.gif" width="151" height="41 src=">Инструментальные и математические методы " href="/text/category/instrumentalmznie_i_matematicheskie_metodi/" rel="bookmark">математические методы анализа (например, в последние десятилетия в гуманитарных науках появились математические теории развития культуры, построены и исследованы математические модели мобилизации, циклического развития социокультурных процессов, модель взаимодействия народа и правительства, модель гонки вооружений и др.).

В самых общих чертах процесс ММ социально-экономических процессов условно можно подразделить на четыре этапа:

формулировка системы гипотез и разработка концептуальной модели; разработка математической модели; анализ результатов модельных расчетов, который включает сравнение их с практикой; формулировка новых гипотез и уточнение модели в случае несоответствия результатов расчетов и практических данных.

Отметим, что, как правило, процесс математического моделирования носит циклический характер, поскольку даже при исследовании сравнительно простых процессов редко удается с первого шага построить адекватную математическую модель и подобрать точные ее параметры.

В настоящее время экономика рассматривается как сложная развивающаяся система, для количественного описания которой применяются динамические математические модели различной степени сложности. Одно из направлений исследования макроэкономической динамики связано с построением и анализом относительно простых нелинейных имитационных моделей, отражающих взаимодействие различных подсистем – рынка труда, рынка товаров, финансовой системы , природной среды и др.

Успешно развивается теория катастроф. Эта теория рассматривает вопрос об условиях, при которых изменение параметров нелинейной системы вызывает перемещение точки в фазовом пространстве, характеризующей состояние системы, из области притяжения к начальному положению равновесия в область притяжения к другому положению равновесия. Последнее очень важно не только для анализа технических систем, но и для понимания устойчивости социально-экономических процессов. В этой связи представляют интерес выводы о значении исследования нелинейных моделей для управления. В книге «Теория катастроф», опубликованной в 1990 г., он, в частности, пишет: «…нынешняя перестройка во многом объясняется тем, что начали действовать хотя бы некоторые механизмы обратной связи (боязнь личного уничтожения)».

(параметры модели)

При построении моделей реальных объектов и явлений часто приходится сталкиваться с недостатком информации. Для исследуемого объекта распределение свойств, параметры воздействия и начальное состояние известны с той или иной степенью неопределенности. При построении модели возможны следующие варианты описания неопределенных параметров:

Классификация математических моделей

(методы реализации)

Методы реализации ММ можно классифицировать в соответствии с таблицей, приведенной ниже.

Методы реализации ММ Очень часто аналитическое решение для модели представляется в виде функций. Для получения значений этих функций при конкретных значениях входных параметров используют их разложение в ряды (например, Тейлора), и значение функции при каждом значении аргумента определяется приближенно. Модели, использующие такой прием, называются приближенными . При численном подходе совокупность математических соотношений модели заменяется конечномерным аналогом. Это чаще всего достигается дискретизацией исходных соотношений, т. е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента (сеточные методы). Найденное после расчетов на компьютере решение принимается за приближен-ное решение исходной задачи. Большинство существующих систем является очень сложными, и для них невозможно создать реальную модель, описанную аналитически. Такие системы следует изучать с помощью имитационного моделирования . Один из основных приемов имитационного моделирования связан с применением датчика случайных чисел. Так как огромное количество задач решается методами ММ, то способы реализации ММ изучаются не в одном учебном курсе . Здесь и уравнения в частных производных, численные методы решения этих уравнений, вычислительная математика, компьютерное моделирование и т. п. ПОЛИНГ, ЛАЙНУС КАРЛ (Pauling, Linus Carl) (), американский химик и физик, удостоенный в 1954 Нобелевской премии по химии за исследования природы химической связи и определение структуры белков. Родился 28 февраля 1901 в Портленде (шт. Орегон). В разработал квантовомеханический метод изучения строения молекул (наряду с американским физиком Дж. Слейером) - метод валентных связей, а также теорию резонанса, позволяющую объяснить строение углеродосодержащих соединений, прежде всего соединений ароматического ряда. В период культа личности СССР ученые, занимавшиеся квантовой химией подвергались гонениям и обвинялись в «полингизме». МАЛЬТУС, ТОМАС РОБЕРТ (Malthus, Thomas Robert) (), английский экономист. Родился в Рукери близ Доркинга в Суррее 15 или 17 февраля 1766. В 1798 анонимно опубликовал труд Опыт о законе народонаселения. В 1819 Мальтус был избран членом Королевского общества.

Содержание Предмет математического моделирования. Основы моделирования. Понятие модели. Принцип моделирования. Моделирование как метод научного познания. Этапы моделирования. Характеристика 1 – 2 этапов. Этапы моделирования. Характеристика 3 – 4 этапов. Классификация моделей. Общий обзор. Классификация экономико-математических моделей. Этапы экономико-математического моделирования. Математическая модель. Линейное программирование. Постановка задачи линейного программирования. Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования. Симплексный метод. Построение начального опорного плана. Симплексные таблицы. Признак оптимальности опорного плана. Понятие двойственности. Построение двойственных задач и их свойства. Транспортная задача. Построение исходного опорного плана. Транспортная задача. Метод потенциалов.

Содержание Основные понятия и определения теории графов. Упорядочение элементов орграфа. Алгоритм Фалкерсона. Решение задач о нахождении кратчайших путей в графе. Задача о максимальном потоке и ее приложения. Транспортная задача в сетевой постановке. Элементы сетевого планирования. Принципы динамического программирования, вычислительная процедура метода. Метод Монте-Карло. Суть метода. Решение задач методом Монте-Карло. Элементы теории матричных игр. Парные матричные игры с нулевой суммой. Методы решения матричных игр. Игры с природой. Критерии для принятия решения. Пакет Maple 7. Общий обзор пакета. Его возможности. Интерфейс программы, работа с командами. Использование переменных. Работа с таблицами.

Предмет математического моделирования. Основы моделирования Математическое моделирование - это исследование явлений, процессов, систем или объектов путем построения и изучения их моделей и использования последних для определения или уточнения характеристик и рациональных способов построения вновь конструируемых технологических процессов, систем и объектов. Математическая модель - это абстракция реального мира, в которой интересующие исследователя отношения между реальными элементами заменены подходящими отношениями между математическими категориями. Эти отношения, как правило, представлены в форме уравнений и (или) неравенств, характеризующих функционирование моделируемой реальной системы. Искусство построения математических моделей состоит в том, чтобы совместить как можно большую лаконичность в ее математическом описании с достаточной точностью модельного воспроизводства именно тех сторон анализируемой реальности, которые интересуют исследователя. Меню Моделирование - творческий процесс, требующий серьезной подготовки и переработки большого объема информации, сочетающий в себе трудоемкость и эвристические начала и носящий вероятностный характер.

Понятие модели. Моделирование как метод научного познания Модель - это некоторое упрощенное подобие реального объекта, явления или процесса. Модель - это такой материальный или мысленно представляемый объект, который замещает объект-оригинал с целью его исследования, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные черты и свойства оригинала. Хорошо построенная модель, как правило, доступнее для исследования, чем реальный объект (например, такой, как экономика страны, Солнечная система и т. п.). Другое, не менее важное назначение модели состоит в том, что с ее помощью выявляются наиболее существенные факторы, формирующие те или иные свойства объекта. Модель также позволяет учиться управлять объектом, что важно в тех случаях, когда экспериментировать с объектом бывает неудобно, трудно или невозможно (например, когда эксперимент имеет большую продолжительность или когда существует риск привести объект в нежелательное или необратимое состояние). Таким образом, можно сделать вывод, что модель необходима для того, чтобы: понять, как устроен конкретный объект - каковы его структура, основные свойства, законы развития и взаимодействия с окружающим миром; научиться управлять объектом или процессом и определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях (оптимизация); Меню прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействия на объект, процесс.

Этапы моделирования Характеристика 1 этапа I этап. Постановка задачи Под задачей в самом общем смысле понимается некая проблема, которую надо решить. Главное - определить объект моделирования и понять, что собой должен представлять результат. По характеру постановки все задачи можно разделить на две основные группы. К первой группе можно отнести задачи, в которых требуется исследовать, как изменяется характеристика объекта при некотором воздействии на него. Такую постановку задачи принято называть "что будет, если. . . ". Вторая группа задач имеет такую обобщенную формулировку: какое надо произвести воздействие на объект, чтобы его параметры удовлетворяли некоторому заданному условию? Такая постановка задачи часто называется "как сделать, чтобы. . . ". Цели моделирования определяются расчетными параметрами модели. Чаще всего это поиск ответа на вопрос, поставленный в формулировке задачи. Далее переходят к описанию объекта или процесса. На этой стадии выявляются факторы, от которых зависит поведение модели. При моделировании в электронных таблицах учитывать можно только те параметры, которые имеют количественные характеристики. Иногда задача может быть уже сформулирована в упрощенном виде, и в ней четко поставлены цели и определены параметры модели, которые надо учесть. При анализе объекта необходимо ответить на следующий вопрос: можно ли исследуемый объект или процесс рассматривать как единое целое или же это система, состоящая из более простых объектов? Если это единое целое, то можно перейти к построению информационной модели. Если система - надо перейти к анализу объектов, ее составляющих, определить связи между ними. Меню

Этапы моделирования Характеристика 2 этапа II этап. Разработка модели По результатам анализа объекта составляется информационная модель. В ней детально описываются все свойства объекта, их параметры, действия и взаимосвязи. Далее информационная модель должна быть выражена в одной из знаковых форм. Учитывая, что мы будем работать в среде электронных таблиц, то информационную модель необходимо преобразовать в математическую. На основе информационной и математической моделей составляется компьютерная модель в форме таблиц, в которой выделяются три области данных: исходные данные, промежуточные расчеты, результаты. Исходные данные вводятся "вручную". Расчеты, как промежуточные, так и окончательные, проводятся по формулам, записанным по правилам электронных таблиц. Меню

Этапы моделирования Характеристика 3 этапа III этап. Компьютерный эксперимент Чтобы дать жизнь новым конструкторским разработкам, внедрить новые технические решения в производство или проверить новые идеи, нужен эксперимент. В недалеком прошлом такой эксперимент можно было провести либо в лабораторных условиях на специально создаваемых для него установках, либо на натуре, т. е. на настоящем образце изделия, подвергая его всяческим испытаниям. Это требует больших материальных затрат и времени. В помощь пришли компьютерные исследования моделей. При проведении компьютерного эксперимента проверяют правильность построения моделей. Изучают поведение модели при различных параметрах объекта. Каждый эксперимент сопровождается осмыслением результатов. Если результаты компьютерного эксперимента противоречат смыслу решаемой задачи, то ошибку надо искать в неправильно выбранной модели или в алгоритме и методе ее решения. После выявления и устранения ошибок компьютерный эксперимент повторяется. Меню

Этапы моделирования Характеристика 4 этапа IV этап. Анализ результатов моделирования Заключительный этап моделирования - анализ модели. По полученным расчетным данным проверяется, насколько расчеты отвечают нашему представлению и целям моделирования. На этом этапе определяются рекомендации по совершенствованию принятой модели и, если возможно, объекта или процесса. Меню

Классификация моделей Классификация по области использования Учебные: наглядные пособия, различные тренажеры, обучающие программы. Опытные: уменьшенные или увеличенные копии исследуемого объекта для дальнейшего изучения (модели корабля, автомобиля, самолета, гидростанции). Научно-технические модели создают для исследования процессов и явлений (стенд для проверки телевизоров; синхротрон - ускоритель электронов и др.). Игровые: военные, экономические, спортивные, деловые игры. Имитационные: отражают реальность с той или иной степенью точности (испытание нового лекарственного средства в ряде опытах на мышах; эксперименты по внедрению в производство новой технологии ). Классификация с учетом фактора времени Статическая модель - модель объекта в данный момент времени. Динамическая модель позволяет увидеть изменения объекта во времени. Меню

Классификация моделей Классификация по способу представления Материальная модель - это физическое подобие объекта. Они воспроизводят геометрические и физические свойства оригинала (чучела птиц, муляжи животных, внутренних органов человеческого организма, географические и исторические карты, схема солнечной системы). Информационная модель - это совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром. Любая информационная модель содержит лишь существенные сведения об объекте с учетом той цели, для которой она создается. Информационные модели одного и того же объекта, предназначенные для разных целей, могут быть совершенно разными. Вербальная модель - информационная модель в мысленной или разговорной форме. Знаковая модель - информационная модель, выраженная специальными знаками, т. е. средствами любого формального языка. Знаковые модели - это рисунки, тексты, графики, схемы, таблицы и т. д. Компьютерная модель - модель, реализованная средствами программной среды. Прежде чем построить модель объекта (явления, процесса), необходимо выделить составляющие его элементы и связи между ними (провести системный анализ) и "перевести" полученную структуру в какую-либо заранее определенную форму - формализовать информацию. Меню Формализация - это процесс выделения и перевода внутренней структуры предмета, явления или процесса в определенную информационную структуру - форму.

Классификация экономикоматематических моделей Экономико-математические модели – модели управляемых и регулируемых экономических процессов, использующиеся для преобразования экономической действительности. Адекватность моделей объектам моделирования определяется по совпадению результатов исследования с наблюдаемыми фактами. Практика в этом случае означает действительность. По целевому назначению экономико-математические модели бывают Теоретико-аналитические Прикладные Экономико-математические модели делятся на модели всего народного хозяйства и его подсистем (отраслей, регионов и т. д.) Модели бывают функциональные и структурные. Модели бывают дескрептивные и нормативные. Дескрептивные модели отвечают на вопрос, как это происходит и как может дальше развиваться? Нормативные модели отвечают на вопрос как это должно быть? То есть предполагают целенаправленную деятельность. Различают модели жёстко детерминистские и модели, учитывающие случайность и неопределённость. Модели бывают статически и динамические. По длительности рассматриваемого периода различают модели краткосрочного (1 -5 лет) и долгосрочного (10 -15 и более лет) прогнозирования, планирования. Само время в таких моделях может изменяться либо, непрерывно либо дискретно. Меню Модели могут быть линейные и нелинейные.

Этапы экономико-математического моделирования. Постановка экономической проблемы и её анализ. Главное – определить сущность проблемы, принимаемые допущения и те вопросы на которые, требуется получить ответы. Этап включает выделение важнейших черт и свойств объекта, абстрагирование от второстепенных. Формирование гипотез, если требуется, объясняющих поведение и развитие объекта. Построение математической модели. Этап формализации экономической проблемы. Неправильно полагать, что чем больше фактов учитывает модель, тем она лучше. Изменение сложности и громоздкости модели затрудняет процесс исследования. Нужно учитывать реальные возможности информационного и математического обеспечения. Нужно сопоставить затраты на моделирование с получаемым эффектом. Одной из важнейших особенностей математической модели является потенциальная возможность их использования для решения разных задач. Меню

Этапы экономико-математического моделирования. Математический анализ модели. Целью данного этапа является выяснение общих свойств модели. Важный момент – доказательство существования решения. Подготовка исходной информации Надо учитывать за какие сроки будет собрана нужная информация, учитывать затраты на подготовку информации. В процессе подготовки широко используются методы теории вероятности, теоретической и математической статистики. Численное решение. Разработка алгоритмов для численного решения задачи, составления программ для компьютера и непосредственно проведение расчетов. Трудность на этом этапе создаёт большая размерность экономических задач и необходимость обработки значительных массивов информации. Меню Анализ численных результатов и их применение. На этом этапе встаёт вопрос о правильности и полноте результатов моделирования, о степени их практической применимости.

Линейное программирование. Это раздел математического моделирования, все зависимости которого линейны. Математическая модель любой задачи линейного программирования имеет вид Z= max(min) Меню Условия не отрицательности Xj ≥ 0

Пример: При изготовлении изделий u 1 и u 2 используются токарные и фрезерные станки, а также сталь и цветные металлы, по технологическим нормам на производство единице изделия u 1 требуется 300 и 200 единиц соответственно токарного и фрезерного оборудования (в часах), и 10 и 20 единиц стали и цветных металлов (в кг.). для производства изделия u 2 требуется 400, 100, 70, 50 соответственно единиц тех же ресурсов. Цех располагает 12400 и 6800 часами, 640 и 840 кг. материала. Прибыль от реализации единице изделия u 1=6000 ден. ед. , u 2=16000 ден. ед. Требуется: Свести исходные данные в таблицу, удобную для построения модели. Составить математическую модель задачи. Определить план выпуска изделий, обеспечить max прибыль при условие что, время работы фрезерных станков должно быть использовано полностью.

Решение: Пусть х1 - число изделий u 1, а х2 – число изделий u 2, z – суммарная прибыль.

Линейное программирование. Эта общая или производная форма записи. Переменные Xj, которые удовлетворяют системе ограничений и условию не отрицательности, называются допустимыми. Допустимые переменные, которые превращают целевую функцию в max или min, называются оптимальными. Методы решения таких задач подразделяются на универсальные и специальные. Универсальным методом решают любые ЗЛП. Специальные методы учитывают особенности модели. Особенностью ЗЛП является то, что max (min) целевая функция достигает на границе области допустимых решений. К ЗЛП относятся: задача о выборе оптимальных технологий; задача о смесях; задача о раскрое материала; транспортная задача; Меню задача о наилучшем использовании ресурсов; задача о размещении заказа;

Постановка задачи линейного программирования Любая ЗЛП записывается с помощью математической модели. Существует 3 формы записи ЗЛП Меню Общая (произвольная)

Постановка задачи линейного программирования Все эти формы эквивалентны. Чтобы от max перейти к min (или наоборот) надо поменять знаки у каждого слагаемого в записи целевой функции. Чтобы превратить неравенство вида в неравенство вида (и наоборот) нужно обе части неравенства умножить на -1. Меню Каноническая (основная) Чтобы неравенство превратить в равенство (и наоборот) нужно добавить или отнять от левой части дополнительную неотрицательную переменную, она называется балансовой. При записи целевой функции она имеет коэффициент =0.

Математическая модель технического объекта - совокупность математических объектов и отношений между ними, которая адекватно отражает свойства исследуемого объекта, интересующие исследователя (инженера).

Модель может быть представлена различными способами.

Формы представления модели:

инвариантная - запись соотношений модели с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнений модели;

аналитическая - запись модели в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели;

алгоритмическая - запись соотношений модели и выбранного численного метода решения в форме алгоритма.

схемная (графическая) - представление модели на некотором графическом языке (например, язык графов, эквивалентные схемы, диаграммы и т.п.);

физическая

аналоговая

Наиболее универсальным является математическое описание процессов - математическое моделирование.

В понятие математического моделирования включают и процесс решения задачи на ЭВМ.

Обобщенная математическая модель

Математическая модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами.

Элементами обобщенной математической модели являются (рис. 1): множество входных данных (переменные) X,Y;

X - совокупность варьируемых переменных; Y - независимые переменные (константы);

математический оператор L, определяющий операции над этими данными; под которым понимается полная система математических операций, описывающих численные или логические соотношения между множествами входных и выходных данных (переменные);

множество выходных данных (переменных) G(X,Y); представляет собой совокупность критериальных функций, включающую (при необходимости) целевую функцию.

Математическая модель является математическим аналогом проектируемого объекта. Степень адекватности ее объекту определяется постановкой и корректностью решений задачи проектирования.

Множество варьируемых параметров (переменных) X образует пространство варьируемых параметров Rx (пространство поиска), которое является метрическим с размерностью n, равной числу варьируемых параметров.

Множество независимых переменных Y образуют метрическое пространство входных данных Ry. В том случае, когда каждый компонент пространства Ry задается диапазоном возможных значений, множество независимых переменных отображается некоторым ограниченным подпространством пространства Ry.

Множество независимых переменных Y определяет среду функционирования объекта, т.е. внешние условия, в которых будет работать проектируемый объект

Это могут быть:

• - технические параметры объекта, не подлежащие изменению в процессе проектирования;
• - физические возмущения среды, с которой взаимодействует объект проектирования;
• - тактические параметры, которые должен достигать объект проектирования.

Выходные данные рассматриваемой обобщенной модели образуют метрическое пространство критериальных показателей RG.

Схема использования математической модели в системе автоматизированного проектирования показана на рис.2.

Требования к математической модели

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования адекватности, универсальности и экономичности.

Адекватность. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта.

Точность модели различна в разных условиях функционирования объекта. Эти условия характеризуются внешними параметрами. В пространстве внешних параметров выделить область адекватности модели, где погрешность меньше заданной предельно допустимой погрешности. Определение области адекватности моделей - сложная процедура, требующая больших вычислительных затрат, которые быстро растут с увеличением размерности пространства внешних параметров. Эта задача по объему может значительно превосходить задачу параметрической оптимизации самой модели, поэтому для вновь проектируемых объектов может не решаться.

Универсальность - определяется в основном числом и составом учитываемых в модели внешних и выходных параметров.

Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации - затратами машинного времени и памяти.

Противоречивость требований к модели обладать широкой областью адекватности, высокой степени универсальности и высокой экономичности обусловливает использование ряда моделей для объектов одного и того же типа.

Методы получения моделей

Получение моделей в общем случае - процедура неформализованная. Основные решения, касающиеся выбора вида математических соотношений, характера используемых переменных и параметров, принимает проектировщик. В тоже время такие операции, как расчет численных значений параметров модели, определение областей адекватности и другие, алгоритмизированы и решаются на ЭВМ. Поэтому моделирование элементов проектируемой системы обычно выполняется специалистами конкретных технических областей с помощью традиционных экспериментальных исследований.

Методы получения функциональных моделей элементов делят на теоретические и экспериментальные.

Теоретические методы основаны на изучении физических закономерностей протекающих в объекте процессов, определении соответствующего этим закономерностям математического описания, обосновании и принятии упрощающих предположений, выполнении необходимых выкладок и приведении результата к принятой форме представления модели.

Экспериментальные методы основаны на использовании внешних проявлений свойств объекта, фиксируемых во время эксплуатации однотипных объектов или при проведении целенаправленных экспериментов.

Несмотря на эвристический характер многих операций моделирование имеет ряд положений и приемов, общих для получения моделей различных объектов. Достаточно общий характер имеют

методика макро моделирования,

математические методы планирования экспериментов,

алгоритмы формализуемых операций расчета численных значений параметров и определения областей адекватности.

Использование математических моделей

Вычислительная мощность современных компьютеров в сочетании с предоставлением пользователю всех ресурсов системы, возможностью диалогового режима при решении задачи и анализе результатов позволяют свести к минимуму время решения задачи.

При составлении математической модели от исследователя требуется:

изучить свойства исследуемого объекта;

умение отделить главные свойства объекта от второстепенных;

оценить принятые допущения.

Модель описывает зависимость между исходными данными и искомыми величинами. Последовательность действий, которые надо выполнить, чтобы от исходных данных перейти к искомым величинам, называют алгоритмом.

Алгоритм решения задачи на ЭВМ связан с выбором численного метода. В зависимости от формы представления математической модели (алгебраическая или дифференциальная форма) используются различные численные методы.

Суть экономико-математического моделирования заключается в описании социально-экономических систем и процессов в виде экономико-математических моделей.

Рассмотрим вопросы классификации экономико-математических методов. Эти методы, как отмечено выше, представляют собой комплекс экономико-математических дисциплин, являющихся сплавом экономики, математики и кибернетики.

Поэтому классификация экономико-математических методов сводится к классификации научных дисциплин , входящих в их состав. Хотя общепринятая классификация этих дисциплин пока не выработана, с известной степенью приближения в составе экономико-математических методов можно выделить следующие разделы:

• * экономическая кибернетика: системный анализ экономики, теория экономической информации и теория управляющих систем;
• * математическая статистика: экономические приложения данной дисциплины -- выборочный метод, дисперсионный анализ, корреляционный анализ, регрессионный анализ, многомерный статистический анализ, факторный анализ, теория индексов и др.;
• * математическая экономия и изучающая те же вопросы с количественной стороны эконометрия: теория экономического роста, теория производственных функций, межотраслевые балансы, национальные счета, анализ спроса и потребления, региональный и пространственный анализ, глобальное моделирование и др.;
• * методы принятия оптимальных решений , в том числе исследование операций в экономике. Это наиболее объемный раздел, включающий в себя следующие дисциплины и методы: оптимальное (математическое) программирование, в том числе методы ветвей и границ, сетевые методы планирования и управления, программно-целевые методы планирования и управления, теорию и методы управления запасами, теорию массового обслуживания, теорию игр, теорию и методы принятия решений, теорию расписаний. В оптимальное (математическое) программирование входят в свою очередь линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирование, дискретное (целочисленное) программирование, дробно-линейное программирование, параметрическое программирование, сепарабельное программирование, стохастическое программирование, геометрическое программирование;
• * методы и дисциплины, специфичные отдельно как для централизованно планируемой экономики, так и для рыночной (конкурентной) экономики. К первым можно отнести теорию оптимального функционирования экономики, оптимальное планирование, теорию оптимального ценообразования, модели материально-технического снабжения и др. Ко вторым -- методы, позволяющие разработать модели свободной конкуренции, модели капиталистического цикла, модели монополии, модели индикативного планирования, модели теории фирмы и т. д.

Многие из методов, разработанных для централизованно планируемой экономики, могут оказаться полезными и при экономико-математическом моделировании в условиях рыночной экономики;

* методы экспериментального изучения экономических явлений. К ним относят, как правило, математические методы анализа и планирования экономических экспериментов, методы машинной имитации (имитационное моделирование), деловые игры. Сюда можно отнести также и методы экспертных оценок, разработанные для оценки явлений, не поддающихся непосредственному измерению.

Перейдем теперь к вопросам классификации экономико-математических моделей, другими словами, математических моделей социально-экономических систем и процессов.

Единой системы классификации таких моделей в настоящее время также не существует, однако обычно выделяют более десяти основных признаков их классификации, или классификационных рубрик. Рассмотрим некоторые из этих рубрик.

По общему целевому назначению экономико-математические модели делятся на теоретико-аналитические, используемые при изучении общих свойств и закономерностей экономических процессов, и прикладные, применяемые в решении конкретных экономических задач анализа, прогнозирования и управления. Различные типы прикладных экономико-математических моделей как раз и рассматриваются в данном учебном пособии.

По степени агрегирования объектов моделирования модели разделяются на макроэкономические и микроэкономические. Хотя между ними и нет четкого разграничения, к первым из них относят модели, отражающие функционирование экономики как единого целого, в то время как микроэкономические модели связаны, как правило, с такими звеньями экономики, как предприятия и фирмы.

По конкретному предназначению, т. е. по цели создания и применения, выделяют балансовые модели, выражающие требование соответствия наличия ресурсов и их использования; трендовые модели, в которых развитие моделируемой экономической системы отражается через тренд (длительную тенденцию) ее основных показателей; оптимизационные модели, предназначенные для выбора наилучшего варианта из определенного числа вариантов производства, распределения или потребления; имитационные модели, предназначенные для использования в процессе машинной имитации изучаемых систем или процессов и др.

По типу информации, используемой в модели, экономике-математические модели делятся на аналитические, построенные на априорной информации, и идентифицируемые, построенные на апостериорной информации.

По учету фактора времени модели подразделяются на статические, в которых все зависимости отнесены к одному моменту времени, и динамические, описывающие экономические системы в развитии.

По учету фактора неопределенности модели распадаются на детерминированные, если в них результаты на выходе однозначно определяются управляющими воздействиями, и стохастические (вероятностные), если при задании на входе модели определенной совокупности значений на ее выходе могут получаться различные результаты в зависимости от действия случайного фактора.

Экономико-математические модели могут классифицироваться также по характеристике математических объектов, включенных в модель, другими словами, по типу математического аппарата, используемого в модели. По этому признаку могут быть выделены матричные модели, модели линейного и нелинейного программирования, корреляционно-регрессионные модели,

Основные понятия математического моделирования модели теории массового обслуживания, модели сетевого планирования и управления, модели теории игр и т.д.

Наконец, по типу подхода к изучаемым социально-экономическим системам выделяют дескриптивные и нормативные модели. При дескриптивном (описательном) подходе получаются модели, предназначенные для описания и объяснения фактически наблюдаемых явлений или для прогноза этих явлений; в качестве примера дескриптивных моделей можно привести названные ранее балансовые и трендовые модели. При нормативном подходе интересуются не тем, каким образом устроена и развивается экономическая система, а как она должна быть устроена и как должна действовать в смысле определенных критериев. В частности, все оптимизационные модели относятся к типу нормативных; другим примером могут служить нормативные модели уровня жизни.

Рассмотрим в качестве примера экономико-математическую модель межотраслевого баланса (ЭММ МОБ). С учетом приведенных выше классификационных рубрик это прикладная, макроэкономическая, аналитическая, дескриптивная, детерминированная, балансовая, матричная модель; при этом существуют как статические методы так и динамические

Линейное программирование -- это частный раздел оптимального программирования. В свою очередь оптимальное (математическое) программирование -- раздел прикладной математики, изучающий задачи условной оптимизации. В экономике такие задачи возникают при практической реализации принципа оптимальности в планировании и управлении.

Необходимым условием использования оптимального подхода к планированию и управлению (принципа оптимальности) является гибкость, альтернативность производственно- хозяйственных ситуаций, в условиях которых приходится принимать планово-управленческие решения. Именно такие ситуации, как правило, и составляют повседневную практику хозяйствующего субъекта (выбор производственной программы, прикрепление к поставщикам, маршрутизация, раскрой материалов, приготовление смесей и т.д.).

Суть принципа оптимальности состоит в стремлении выбрать такое планово-управленческое решение X = (xi, Х2 хп), где Ху, (у = 1. я) -- его компоненты, которое наилучшим образом учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности хозяйствующего субъекта.

Слова «наилучшим образом» здесь означают выбор некоторого критерия оптимальности, т.е. некоторого экономического показателя, позволяющего сравнивать эффективность тех или иных планово-управленческих решений. Традиционные критерии оптимальности: «максимум прибыли», «минимум затрат», «максимум рентабельности» и др. Слова «учитывало бы внутренние возможности и внешние условия производственной деятельности» означают, что на выбор планово-управленческого решения (поведения) накладывается ряд условий, т.е. выбор X осуществляется из некоторой области возможных (допустимых) решений D; эту область называют также областью определения задачи. общая задача оптимального (математического) программирования, иначе -- математическая модель задачи оптимального программирования, в основе построения (разработки) которой лежат принципы оптимальности и системности.

Вектор X (набор управляющих переменных Xj, j = 1, п) называется допустимым решением, или планом задачи оптимального программирования, если он удовлетворяет системе ограничений. А тот план X (допустимое решение), который доставляет максимум или минимум целевой функции f(xi, *2, ..., хп), называется оптимальным планом (оптимальным поведением, или просто решением) задачи оптимального программирования.

Таким образом, выбор оптимального управленческого поведения в конкретной производственной ситуации связан с проведением с позиций системности и оптимальности экономико- математического моделирования и решением задачи оптимального программирования. Задачи оптимального программирования в наиболее общем виде классифицируют по следующим признакам.

• 1. По характеру взаимосвязи между переменными --
• а) линейные,
• б) нелинейные.

В случае а) все функциональные связи в системе ограничений и функция цели -- линейные функции; наличие нелинейности хотя бы в одном из упомянутых элементов приводит к случаю б).

• 2. По характеру изменения переменных --
• а) непрерывные,
• б) дискретные.

В случае а) значения каждой из управляющих переменных могут заполнять сплошь некоторую область действительных чисел; в случае б) все или хотя бы одна переменная могут принимать только целочисленные значения.

• 3. По учету фактора времени --
• а) статические,
• б) динамические.

В задачах а) моделирование и принятие решений осуществляются в предположении о независимости от времени элементов модели в течение периода времени, на который принимается планово-управленческое решение. В случае б) такое предположение достаточно аргументированно принято не может быть и необходимо учитывать фактор времени.

• 4. По наличию информации о переменных --
• а) задачи в условиях полной определенности (детерминированные),
• б) задачи в условиях неполной информации,
• в) задачи в условиях неопределенности.

В задачах б) отдельные элементы являются вероятностными величинами, однако известны или дополнительными статистическими исследованиями могут быть установлены их законы распределения. В случае в) можно сделать предположение о возможных исходах случайных элементов, но нет возможности сделать вывод о вероятностях исходов.

• 5. По числу критериев оценки альтернатив --
• а) простые, однокритериальные задачи,
• б) сложные, многокритериальные задачи.

В задачах а) экономически приемлемо использование одного критерия оптимальности или удается специальными процедурами (например, «взвешиванием приоритетов»)

Модель (от лат. modulus - мера) и моделирование являются общенаучными понятиями. Моделирование с общенаучной точки зрения выступает как способ познания с помощью построения особых объектов, систем – моделей исследуемых объектов, явлений или процессов. При этом тот или иной объект называют моделью тогда, когда он используется для получения информации относительно другого объекта – прототипа модели.

Метод моделирования используется фактически во всех без исключения науках и на всех этапах научного исследования. Эвристическая сила этого метода определяется тем, что с помощью метода моделирования удается свести изучение сложного к простому, невидимого и неощутимого и видимому и ощутимому и т.д.

При исследовании какого-то объекта (процесса или явления) с помощью метода моделирования, в качестве модели можно выбрать те свойства, которые нас в данный момент интересуют. Научное исследование любого объекта всегда относительно. В конкретном исследовании нельзя рассмотреть объект во всем его многообразии. Следовательно, один и тот же объект может иметь много различных моделей и ни про одну из них нельзя сказать, что она единственная, настоящая модель данного объекта.

Принято различать четыре основных свойства моделей:

· упрощенность по сравнению с изучаемым объектом;

· способность отражать или воспроизводить объект исследования;

· возможность замещать объект исследования на определенных этапах его познания;

· возможность получать новую информацию об изучаемом объекте.

Исследование различных явлений или процессов математическими методами осуществляется с помощью математической модели. Математическая модель представляет собой формализованное описание на языке математики исследуемого объекта. Таким формализованным описанием может быть система линейных, нелинейных или дифференциальных уравнений, система неравенств, определенный интеграл, многочлен с неизвестными коэффициентами и т. д. Математическая модель должна охватывать важнейшие характеристики исследуемого объекта и отражать связи между ними.

Прежде чем создать математическую модель объекта (процесса или явления) его длительно изучают различными методами: наблюдением, специально организованными экспериментами, теоретическим анализом и т.д., то есть достаточно хорошо изучают качественную сторону явления, выявляют отношения, в которых находятся элементы объекта. Затем объект упрощается, из всего многообразия присущих ему свойств выделяются наиболее существенные. При необходимости делаются предположения об имеющихся связях с окружающим миром.

Как указывалось ранее, любая модель не тождественна самому явлению, она только дает некоторое приближение к действительности. Но в модели перечислены все предположения, которые положены в ее основу. Эти предположения могут быть грубыми и тем не менее давать вполне удовлетворительное приближение к реальности. Для одного и того же явления может быть построено несколько моделей, в том числе и математических. Например, описать движение планет Солнечной системы можно с помощью:

8 модели Кеплера, которая состоит из трех законов, включая математические формулы (уравнение эллипса);

8 модели Ньютона, которая состоит из одной формулы, но тем не менее она более общая и точная.

В оптике рассматривалось несколько моделей света: корпускулярная, волновая и электромагнитная. Для них были выведены многочисленные закономерности количественного характера. Каждая из этих моделей требовала своего математического подхода и соответствующих математических средств. Корпускулярная оптика пользовалась средствами евклидовой геометрии и пришла к выводу законов отражения и преломления света. Волновая модель теории света потребовала новых математических идей и чисто вычислительным путем были открыты новые факты, относящиеся к явлениям дифракции и интерференции света, которые ранее не наблюдались. Геометрическая оптика, связанная с корпускулярной моделью, здесь оказалась бессильной.

Построенная модель должна быть такой, чтобы она могла замещать в исследованиях объект (процесс или явление), должна иметь с ним сходные черты. Сходство достигается либо за счет подобия структуры (изоморфизм), либо аналогии в поведении или функционировании (изофункциональность). Опираясь на сходство структуры или функции модели и оригинала в современной технике проверяют, рассчитывают и проектируют сложнейшие системы, машины и сооружения.

Как указывалось выше, для одного и того же объекта, процесса или явления может быть построено много различных моделей. Некоторые из них (не обязательно все) могут оказаться изоморфными. Например, в аналитической геометрии кривая на плоскости используется в качестве модели соответствующего уравнения с двумя переменными. В этом случае модель (кривая) и прототип (уравнение) являются изоморфнымти системами (точек, лежащих на кривой, и соответствующих пар чисел, удовлетворяющих уравнению),

В книге «Математика ставит эксперимент» академик Н.Н.Моисеев пишет, что любая математическая модель может возникнуть тремя путями:

· В результате прямого изучения и осмысления объекта (процесса или явления) (феноменологическая) (пример – уравнения, описывающие динамику атмосферы, океана),

· В результате некоторого процесса дедукции, когда новая модель получается как частный случай более общей модели (асимптоматическая) (пример – уравнения гидро-термодинамики атмосферы),

· В результате некоторого процесса индукции, когда новая модель является естественным обобщением «элементарных» моделей (модель ансамблей или обобщенная модель).

Процесс разработки математических моделей состоит из следующих этапов :

· формулирование проблемы;

· определение цели моделирования;

· организация и проведение исследования предметной области (исследование свойств объекта моделирования);

· разработка модели;

· проверка ее точности и соответствия реальности;

· практическое использование, т.е. перенос полученных с помощью модели знаний на исследуемый объект или процесс.

Особое значение моделирование как способ познания законов и явлений природы приобретает в изучении объектов, недоступных в полной мере прямому наблюдению или экспериментированию. К ним относятся и социальные системы, единственно возможным способом изучения которых, зачастую служит моделирование.

Общих способов построения математических моделей не существует. В каждом конкретном случае нужно исходить из имеющихся данных, целевой направленности, учитывать задачи исследования, а также соразмерять точность и подробность модели. Она должна отражать важнейшие черты явления, существенные факторы, от которых в основном зависит успех моделирования.

При разработке моделей необходимо придерживаться следующих основных методологических принципов моделирования социальных явлений:

· принципа проблемности, предполагающего движение не от готовых "универсальных" математических моделей к проблемам, а от реальных, актуальных проблем - к поиску, разработке специальных моделей;

· принципа системности, рассматривающего все взаимосвязи моделируемого явления в терминах элементов системы и ее среды;

· принципа вариативности при формализации процессов управления, связанного со специфическими различиями законов развития природы и общества. Для его объяснения необходимо раскрыть коренное отличие моделей общественных процессов от моделей, описывающих явления природы.