Где используется последовательность Фибоначчи? Числа Фибоначчи: практическое применение.

(числа Фибоначчи, англ. Fibonacci sequence, Fibonacci numbers) – ряд чисел, выведенный известным математиком Фибоначчи. Имеет следующий вид: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181 и др.

История ряда Фибоначчи

Леонардо из Пизы (Фибоначчи) пришел в математику из-за практической потребности в установлении деловых контактов. В молодости Фибоначчи много путешествовал, сопровождал отца в разных деловых поездках, что позволяло ему общаться с местными учеными.

Ряд чисел, который сегодня носит его имя, был выведен благодаря проблеме с кроликами, которую автор изложил в книге под названием «Liber abacci» (1202 год): один человек посадил в загон, со всех сторон окруженный стеной, пару кроликов. Вопрос: сколько пар кроликов может произвести эта пара за год, если известно, что ежемесячно, начиная со второго месяца, каждая пара производит на свет еще одну пару кроликов.

В итоге Фибоначчи определил, что число пар кроликов в каждый из последующих двенадцати месяцев будет соответственно:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...

Где каждое последующее число - это сумма двух предыдущих. Это ряд (числа) Фибоначчи. Данная последовательность имеет множество свойств, интересных с математической точки зрения. Например, если разделить линию на 2 сегмента таким образом, чтобы соотношение между меньшим и большим сегментом было пропорционально соотношению между большим сегментом и всей линией, получится коэффициент пропорциональности, известный как « золотое сечение ». Он приблизительно равен 0,618. Ученые эпохи Возрождения считали, что именно эта пропорция, если ее соблюдать в архитектурных сооружениях, способна больше всего радовать глаз.

Применение ряда Фибоначчи

Ряд Фибоначчи нашел широкое применение в самых разных областях науки и жизни. Например, в природе: в строении ураганов, раковин и даже галактик. Не стал исключением и валютный рынок Форекс, где последовательный ряд чисел стал использоваться для прогнозирования трендов. Следует отметить, что между этими числами есть неизменные отношения. Например, как упоминалось выше, отношение предыдущего числа к следующему асимптотически стремится к 0,618 (золотое сечение). Отношения некоторого числа к предыдущему также стремится к величине 0,618.

Помимо прогнозирования трендов, числа Фибоначчи на Форекс используются для прогноза направления движения цены. Например, разворот тренда по золотому сечению происходит на уровне около 61,8% от предыдущего изменения цены (см. рис. 1). Соответственно, самым выгодным вариантом в таком случае будет закрытие позиции чуть ниже данного уровня. Опираясь на ряд Фибоначчи можно рассчитывать наиболее выгодные моменты закрытия и открытия сделок.

Также, одним из способов применения последовательных чисел ряда Фибоначчи на рынке Форекс является построение дуг. Выбор центра для такой дуги происходит в точке важного дна или потолка. Радиус дуг рассчитывается при помощи умножения коэффициентов Фибоначчи на значение предыдущего существенного подъема или спада цен.

Выбираемые коэффициенты имеют значения 0.333, 0.382, 0.4, 0.5, 0.6, 0.618, 0.666. Расположение дуг определяет их роль: поддержки или сопротивления. Чтобы получить представление также о времени возникновения движений цены, дуги, как правило, используют совместно со скоростными или веерными линиями.

Принцип их построения аналогичен: нужно выбрать точки прошлых экстремумов и построить горизонтальную линию из вершины первого из них и вертикальную – из вершины второго. Затем следует поделить получившийся вертикальный отрезок на соответствующие коэффициентам части, нарисовать лучи, идущие из первой точки сквозь только что избранные. При использовании отношений 2/3 и 1/3 получаются скоростные линии, при более строгих 0,618, 0,5 и 0,382 – веерные линии. Все они служат линиями поддержки или сопротивления для ценового тренда (см. рис. 2).

Пересечения веерных дуг и линий служат сигналами для определения поворотных точек тренда – как по времени, так и по цене.

(Рис. 2 – Ряд Фибоначчи, построение дуг)

Более волатильные пары валют характеризуются достижением больших уровней Фибоначчи по сравнению с менее волатильными. Максимальные движения фиксируются по парам Доллар/Франк и Фунт/Доллар, затем идут Доллар/Йена и Евро/Доллар.

Использование ряда Фибоначчи на валютном рынке Форекс имеет одну особенность – их можно применять лишь для хороших импульсных движений.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Числа Фибоначчи и золотое сечение составляют основу разгадки окружающего мира, построения его формы и оптимального зрительного восприятия человеком, с помощью которых он может ощущать красоту и гармонию.

Принцип определения размеров золотого сечения лежит в основе совершенства целого мира и его частей в своей структуре и функциях, его проявление можно видеть в природе, искусстве и технике. Учение о золотой пропорции было заложено в результате исследований древними учеными природы чисел.

Свидетельства использования древними мыслителями золотой пропорции приведены в книге Эвклида «Начала», написанной еще в 3 в. до н.э., который применял это правило для построения правильных 5-угольников. У пифагорейцев эта фигура считается священной, поскольку является одновременно симметричной и асимметричной. Пентаграмма символизировала жизнь и здоровье.

Числа Фибоначчи

Знаменитая книга Liber abaci математика из Италии Леонардо Пизанского, который в последующем стал известен, как Фибоначчи, увидела свет в 1202 г. В ней ученый впервые приводит закономерность чисел, в ряду которых каждое число является суммой 2-х предыдущих цифр. Последовательность чисел Фибоначчи заключается в следующем:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 и т.д.

Также ученый привел ряд закономерностей:

Любое число из ряда, разделенное на последующее, будет равно значению, которое стремится к 0,618. Причем первые числа Фибоначчи не дают такого числа, но по мере продвижения от начала последовательности это соотношение будет все более точным.

Если же поделить число из ряда на предыдущее, то результат устремится к 1,618.

Одно число, поделенное на следующее через одно, покажет значение, стремящееся к 0,382.

Применение связи и закономерностей золотого сечения, числа Фибоначчи (0,618) можно найти не только в математике, но и в природе, в истории, в архитектуре и строительстве и во многих других науках.

Для практических целей ограничиваются приблизительным значением Φ = 1,618 или Φ = 1,62. В процентном округлённом значении золотое сечение - это деление какой-либо величины в отношении 62 % и 38 %.

Исторически изначально золотым сечением именовалось деление отрезка АВ точкой С на две части (меньший отрезок АС и больший отрезок ВС), чтобы для длин отрезков было верно AC/BC = BC/AВ. Говоря простыми словами , золотым сечением отрезок рассечён на две неравные части так, что меньшая часть относится к большей, как большая ко всему отрезку. Позже это понятие было распространено на произвольные величины.

Число Φ называется также золотым числом.

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства.

Теперь подробности:

Определение ЗС - это деление отрезка на две части в таком соотношении, при котором большая часть относится к меньшей, как их сумма (весь отрезок) к большей.


То есть, если мы примем весь отрезок c за 1, то отрезок a будет равен 0,618, отрезок b - 0,382. Таким образом, если взять строение, например, храм, построенный по принципу ЗС, то при его высоте скажем 10 метров, высота барабана с куполом будут равны 3,82 см, а высота основания строения будет 6, 18 см. (понятно, что цифры взяты ровными для наглядности)

А какова связь между ЗС и числами Фибоначчи?

Числа последовательности Фибоначчи это:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Закономерность чисел в том, что каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 и т.д.,

а отношение смежных чисел приближается к отношению ЗС.
Так, 21: 34 = 0,617, а 34: 55 = 0,618.

То есть в основе ЗС лежат числа последовательности Фибоначчи.

Считается, что термин «Золотое сечение» ввел Леонардо Да Винчи, который говорил, «пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды” и показывал пропорции человеческого тела на своём знаменитом рисунке «Витрувианский человек». “Если мы человеческую фигуру – самое совершенное творение Вселенной – перевяжем поясом и отмерим потом расстояние от пояса до ступней, то эта величина будет относиться к расстоянию от того же пояса до макушки, как весь рост человека к длине от пояса до ступней”.

Ряд чисел Фибоначчи наглядно моделируется (материализуется) в форме спирали.


А в природе спираль ЗС выглядит вот так:


При этом, спираль наблюдается повсеместно (в природе и не только):

Семена в большинстве растений расположены по спирали
- Паук плетет паутину по спирали
- Спиралью закручивается ураган
- Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали.
- Молекула ДНK закручена двойной спиралью. Молекулу ДНК составляют две вертикально переплетенные спирали длиной 34 ангстрема и шириной 21 ангстрема. Числа 21 и 34 следуют друг за другом в последовательности Фибоначчи.
- Эмбрион развивается в форме спирали
- Спираль «улитки во внутреннем ухе»
- Вода уходит в слив по спирали
- Спиральная динамика показывает развитие личности человека и его ценностей по спирали.
- Ну и конечно, сама Галактика имеет форму спирали


Таким образом можно утверждать, что сама природа построена по принципу Золотого Сечения, оттого эта пропорция гармоничнее воспринимается человеческим глазом. Она не требует «исправления» или дополнения получаемой картинки мира.

Фильм. Число Бога. Неопровержимое доказательство Бога; The number of God. The incontrovertible proof of God.

Золотые пропорции в строении молекулы ДНК


Все сведения о физиологических особенностях живых существ хранятся в микроскопической молекуле ДНК, строение которой также содержит в себе закон золотой пропорции. Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).

21 и 34 - это цифры, следующие друг за другом в последовательности чисел Фибоначчи, то есть соотношение длины и ширины логарифмической спирали молекулы ДНК несет в себе формулу золотого сечения 1:1,618

Золотое сечение в строении микромиров

Геометрические фигуры не ограничиваются только лишь треугольником, квадратом, пяти- или шестиугольником. Если соединить эти фигуры различным образом между собой, то мы получим новые трехмерные геометрические фигуры . Примерами этому служат такие фигуры как куб или пирамида. Однако кроме них существуют также другие трехмерные фигуры, с которыми нам не приходилось встречаться в повседневной жизни , и названия которых мы слышим, возможно, впервые. Среди таких трехмерных фигур можно назвать тетраэдр (правильная четырехсторонняя фигура), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр и т.п. Додекаэдр состоит из 13-ти пятиугольников, икосаэдр из 20-и треугольников. Математики отмечают, что эти фигуры математически очень легко трансформируются, и трансформация их происходит в соответствии с формулой логарифмической спирали золотого сечения.

В микромире трехмерные логарифмические формы, построенные по золотым пропорциям, распространены повсеместно. К примеру, многие вирусы имеют трехмерную геометрическую форму икосаэдра. Пожалуй, самый известный из таких вирусов - вирус Adeno. Белковая оболочка вируса Адено формируется из 252 единиц белковых клеток, расположенных в определенной последовательности. В каждом углу икосаэдра расположены по 12 единиц белковых клеток в форме пятиугольной призмы и из этих углов простираются шипообразные структуры.

Впервые золотое сечение в строении вирусов обнаружили в 1950-хх гг. ученые из Лондонского Биркбекского Колледжа А.Клуг и Д.Каспар. 13 Первым логарифмическую форму явил в себе вирус Polyo. Форма этого вируса оказалась аналогичной с формой вируса Rhino 14.

Возникает вопрос, каким образом вирусы образуют столь сложные трехмерные формы, устройство которых содержит в себе золотое сечение, которые даже нашим человеческим умом сконструировать довольно сложно? Первооткрыватель этих форм вирусов, вирусолог А.Клуг дает такой комментарий:

«Доктор Каспар и я показали, что для сферической оболочки вируса самой оптимальной формой является симметрия типа формы икосаэдра. Такой порядок сводит к минимуму число связующих элементов… Большая часть геодезических полусферических кубов Букминстера Фуллера построены по аналогичному геометрическому принципу . 14 Монтаж таких кубов требует чрезвычайно точной и подробной схемы-разъяснения. Тогда как бессознательные вирусы сами сооружают себе столь сложную оболочку из эластичных, гибких белковых клеточных единиц.»

Последовательность Фибоначчи определяется следующим образом:

Несколько первых её членов:

История

Эти числа ввёл в 1202 г. Леонардо Фибоначчи (Leonardo Fibonacci) (также известный как Леонардо Пизанский (Leonardo Pisano)). Однако именно благодаря математику 19 века Люка (Lucas) название "числа Фибоначчи" стало общеупотребительным.

Впрочем, индийские математики упоминали числа этой последовательности ещё раньше: Гопала (Gopala) до 1135 г., Хемачандра (Hemachandra) — в 1150 г.

Числа Фибоначчи в природе

Сам Фибоначчи упоминал эти числа в связи с такой задачей: "Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?". Решением этой задачи и будут числа последовательности, называемой теперь в его честь. Впрочем, описанная Фибоначчи ситуация — больше игра разума, чем реальная природа.

Индийские математики Гопала и Хемачандра упоминали числа этой последовательности в связи с количеством ритмических рисунков, образующихся в результате чередования долгих и кратких слогов в стихах или сильных и слабых долей в музыке. Число таких рисунков, имеющих в целом долей, равно .

Числа Фибоначчи появляются и в работе Кеплера 1611 года, который размышлял о числах, встречающихся в природе (работа "О шестиугольных снежинках").

Интересен пример растения — тысячелистника, у которого число стеблей (а значит и цветков) всегда есть число Фибоначчи. Причина этого проста: будучи изначально с единственным стеблем, этот стебель затем делится на два, затем от главного стебля ответвляется ещё один, затем первые два стебля снова разветвляются, затем все стебли, кроме двух последних, разветвляются, и так далее. Таким образом, каждый стебель после своего появления "пропускает" одно разветвление, а затем начинает делиться на каждом уровне разветвлений, что и даёт в результате числа Фибоначчи.

Вообще говоря, у многих цветов (например, лилий) число лепестков является тем или иным числом Фибоначчи.

Также в ботанике известно явление ""филлотаксиса"". В качестве примера можно привести расположение семечек подсолнуха: если посмотреть сверху на их расположение, то можно увидеть одновременно две серии спиралей (как бы наложенных друг на друга): одни закручены по часовой стрелке, другие — против. Оказывается, что число этих спиралей примерно совпадает с двумя последовательными числами Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144. Аналогичные факты верны и для некоторых других цветов, а также для сосновых шишек , брокколи, ананасов, и т.д.

Для многих растений (по некоторым данным, для 90% из них) верен и такой интересный факт . Рассмотрим какой-нибудь лист, и будем спускаться от него вниз до тех пор, пока не достигнем листа, расположенного на стебле точно так же (т.е. направленного точно в ту же сторону). Попутно будем считать все листья, попадавшиеся нам (т.е. расположенные по высоте между стартовым листом и конечным), но расположенными по-другому. Нумеруя их, мы будем постепенно совершать витки вокруг стебля (поскольку листья расположены на стебле по спирали). В зависимости от того, совершать витки по часовой стрелке или против, будет получаться разное число витков. Но оказывается, что число витков, совершённых нами по часовой стрелке, число витков, совершённых против часовой стрелки, и число встреченных листьев образуют 3 последовательных числа Фибоначчи.

Впрочем, следует отметить, что есть и растения, для которых приведённые выше подсчёты дадут числа из совсем других последовательностей, поэтому нельзя сказать, что явление филлотаксиса является законом, — это скорее занимательная тенденция.

Свойства

Числа Фибоначчи обладают множеством интересных математических свойств.

Вот лишь некоторые из них:

Фибоначчиева система счисления

Теорема Цекендорфа утверждает, что любое натуральное число можно представить единственным образом в виде суммы чисел Фибоначчи:

где , , , (т.е. в записи нельзя использовать два соседних числа Фибоначчи).

Отсюда следует, что любое число можно однозначно записать в фибоначчиевой системе счисления , например:

причём ни в каком числе не могут идти две единицы подряд.

Нетрудно получить и правило прибавления единицы к числу в фибоначчиевой системе счисления: если младшая цифра равна 0, то её заменяем на 1, а если равна 1 (т.е. в конце стоит 01), то 01 заменяем на 10. Затем "исправляем" запись, последовательно исправляя везде 011 на 100. В результате за линейное время будет получена запись нового числа.

Перевод числа в фибоначчиеву систему счисления осуществляется простым "жадным" алгоритмом: просто перебираем числа Фибоначчи от больших к меньшим и, если некоторое , то входит в запись числа , и мы отнимаем от и продолжаем поиск.

Формула для n-го числа Фибоначчи

Формула через радикалы

Существует замечательная формула, называемая по имени французского математика Бине (Binet), хотя она была известна до него Муавру (Moivre):

Эту формулу легко доказать по индукции, однако вывести её можно с помощью понятия образующих функций или с помощью решения функционального уравнения.

Сразу можно заметить, что второе слагаемое всегда по модулю меньше 1, и более того, очень быстро убывает (экспоненциально). Отсюда следует, что значение первого слагаемого даёт "почти" значение . Это можно записать в строгом виде:

где квадратные скобки обозначают округление до ближайшего целого.

Впрочем, для практического применения в вычислениях эти формулы мало подходят, потому что требуют очень высокой точности работы с дробными числами.

Матричная формула для чисел Фибоначчи

Нетрудно доказать матричное следующее равенство:

Но тогда, обозначая

получаем:

Таким образом, для нахождения -го числа Фибоначчи надо возвести матрицу в степень .

Вспоминая, что возведение матрицы в -ую степень можно осуществить за (см.

Последовательность Фибоначчи, ставшая известной большинству благодаря фильму и книге «Код да Винчи», это ряд чисел, выведенный итальянским математиком Пизанским Леонардо, более известным под псевдонимом Фибоначчи, в тринадцатом веке. Последователи ученого заметили, что формула, которой подчинен данный ряд цифр, находит свое отображение в окружающем нас мире и перекликается с другими математическими открытиями, тем самым открывая для нас дверь в тайны мироздания. В этой статье мы расскажем, что такое последовательность Фибоначчи, рассмотрим примеры отображения этой закономерности в природе, а также сравним с другими математическими теориями.

Формулировка и определение понятия

Ряд Фибоначчи - это математическая последовательность, каждый элемент которой равен сумме двух предыдущих. Обозначим некой член последовательности как х n. Таким образом, получим формулу, справедливую для всего ряда: х n+2 =х n +х n+1. При этом порядок последовательности будет выглядеть так: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Следующим числом будет 55, так как сумма 21 и 34 равна 55. И так далее по такому же принципу.

Примеры в окружающей среде

Если мы посмотрим на растение, в частности, на крону из листьев, то заметим, что они распускаются по спирали. Между соседними листьями образуются углы, которые, в свою очередь, образуют правильную математическую последовательность Фибоначчи. Благодаря этой особенности каждый отдельно взятый листочек, который растет на дереве, получает максимальное количество солнечного света и тепла.

Математическая загадка Фибоначчи

Известный математик представил свою теорию в виде загадки. Звучит она следующим образом. Можно поместить пару кроликов в замкнутое пространство для того, чтобы узнать, какое количество пар кроликов родится в течении одного года. Учитывая природу этих животных, то, что каждый месяц пара способна производить на свет новую пару, а готовность к размножению у них появляется по достижении двух месяцев, в итоге он получил свой знаменитый ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 - где показано количество новых пар кроликов в каждом месяце.

Последовательность Фибоначчи и пропорциональное соотношение

Этот ряд имеет несколько математических нюансов, которые обязательно нужно рассмотреть. Он, приближаясь медленнее и медленнее (асимптотически), стремится к некоему пропорциональному соотношению. Но оно иррациональное. Другими словами, представляет собой число с непредсказуемой и бесконечной последовательностью десятичных чисел в дробной части. Например, соотношение любого элемента ряда варьируется около цифры 1,618, то превосходя, то достигая его. Следующее по аналогии приближается к 0,618. Что есть обратно пропорциональным к числу 1,618. Если мы поделим элементы через один, то получим 2,618 и 0,382. Как вы уже поняли, они также являются обратно пропорциональными. Полученные числа называются коэффициентами Фибоначчи. А теперь объясним, для чего мы выполняли эти вычисления.

Золотое сечение

Все окружающие нас предметы мы различаем по определенным критериям. Один из них - форма. Какие-то нас привлекают больше, какие-то меньше, а некоторые и вовсе не нравятся. Замечено, что симметричный и пропорциональный объект гораздо легче воспринимается человеком и вызывает чувство гармонии и красоты. Цельный образ всегда включает в себя части различного размера, которые находятся в определенном соотношении друг с другом. Отсюда вытекает ответ на вопрос о том, что называют Золотым сечением. Данное понятие означает совершенство соотношений целого и частей в природе, науке, искусстве и т. д. С математической точки зрения рассмотрим следующий пример. Возьмем отрезок любой длины и разделим его на две части таким образом, чтобы меньшая часть относилась к большей как сумма (длина всего отрезка) к большей. Итак, примем отрезок с за величину один. Его часть а будет равна 0,618, вторая часть b , выходит, равна 0,382. Таким образом, мы соблюдаем условие Золотого сечения. Отношение отрезка c к a равняется 1,618. А отношение частей c и b - 2,618. Получаем уже известные нам коэффициенты Фибоначчи. По такому же принципу строятся золотой треугольник, золотой прямоугольник и золотой кубоид. Стоит также отметить, что пропорциональное соотношение частей тела человека близко к Золотому сечению.

Последовательность Фибоначчи - основа всего?

Попробуем объединить теорию Золотого сечения и известного ряда итальянского математика. Начнем с двух квадратов первого размера. Затем сверху добавим еще квадрат второго размера. Подрисуем рядом такую же фигуру с длиной стороны, равной сумме двух предыдущих сторон. Аналогичным образом рисуем квадрат пятого размера. И так можно продолжать до бесконечности, пока не надоест. Главное, чтобы величина стороны каждого последующего квадрата равнялась сумме величин сторон двух предыдущих. Получаем серию многоугольников, длина сторон которых является числами Фибоначчи. Эти фигуры называются прямоугольниками Фибоначчи. Проведем плавную линию через углы наших многоугольников и получим… спираль Архимеда! Увеличение шага данной фигуры, как известно, всегда равномерно. Если включить фантазию, то полученный рисунок можно проассоциировать с раковиной моллюска. Отсюда можем сделать вывод, что последовательность Фибоначи - это основа пропорциональных, гармоничных соотношений элементов в окружающем мире.

Математическая последовательность и мироздание

Если присмотреться, то спираль Архимеда (где-то явно, а где-то завуалированно) и, следовательно, принцип Фибоначчи прослеживаются во многих привычных природных элементах, окружающих человека. Например, все та же раковина моллюска, соцветия обычной брокколи, цветок подсолнечника, шишка хвойного растения и тому подобное. Если заглянем подальше, то увидим последовательность Фибоначчи в бесконечных галактиках. Даже человек, вдохновляясь от природы и перенимая ее формы, создает предметы, в которых прослеживается вышеупомянутый ряд. Тут самое время вспомнить и о Золотом сечении. Наряду с закономерностью Фибоначчи прослеживаются принципы данной теории. Существует версия, что последовательность Фибоначчи - это своего рода проба природы адаптироваться к более совершенной и фундаментальной логарифмической последовательности Золотого сечения, которая практически идентична, но не имеет своего начала и бесконечна. Закономерность природы такова, что она должна иметь свою точку отсчета, от чего отталкиваться для создания чего-то нового. Отношение первых элементов ряда Фибоначчи далеки от принципов Золотого сечения. Однако чем дальше мы его продолжаем, тем больше это несоответствие сглаживается. Для определения последовательности необходимо знать три его элемента, которые идут друг за другом. Для Золотой последовательности же достаточно и двух. Так как она является одновременно арифметической и геометрической прогрессией.

Заключение

Все-таки, исходя из вышесказанного, можно задать вполне логичные вопросы: "Откуда появились эти числа? Кто этот автор устройства всего мира, попытавшийся сделать его идеальным? Было ли всегда все так, как он хотел? Если да, то почему возник сбой? Что будет дальше?" Находя ответ на один вопрос, получаешь следующий. Разгадал его - появляются еще два. Решив их, получаешь еще три. Разобравшись с ними, получишь пять нерешенных. Затем восемь, далее тринадцать, двадцать один, тридцать четыре, пятьдесят пять…

Последовательность чисел Фибоначчи на протяжении многих веков, начиная с эпохи великого Леонардо и вплоть до сегодняшних дней, привлекает к себе внимание. Может быть последний пример - нашумевший роман Дэна Брауна "Код Давинчи".

Прежде всего, несколько слов о числах Фибоначчи вообще и об их производном - золотом сечении в частности. Известно, что в ряд Фибоначчи - это бесконечная последовательность чисел, каждое из которых является суммой двух предыдущих.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,….

Происхождение этой последовательности обычно связывается с именем итальянского купца Леонардо Пизанского, более известного под прозвищем Фибоначчи. Он был великим математиком своего времени и его роль в развитии математики трудно переоценить. По его трудам, превосходящим арабские и средневековые европейские сочинения, учили математику до XVI-XVII веков.

Фибоначчи как бы напомнил человечеству то, что было известно ему еще с древнейших времен, как "золотое сечение". Геометрический смысл этой пропорции, заключается в таком делении отрезка, когда он весь относится к его большей части, как самая большая часть относится к меньшей. Значение золотого сечения иррационально, то есть оно не может быть вычислено абсолютно точно. Однако его можно приблизительно получить, разделив два соседних числа в ряде Фибоначчи, причем, чем больше величины чисел, тем точнее будет результат. Деление большего числа на меньшее дает значение Ф*=1.618…., а разделив меньшее на большее приблизительно получим Ф=0.618…...

По дошедшим до нас памятникам архитектуры и образцам материальной культуры далеких эпох можно предположить о знании древними этих соотношений. Хотя обычно считается, что понятие золотого сечения ввел Пифагор (VI в. до н.э), но вполне возможно, что это знание более древнее и он позаимствовал эти знания у египтян или вавилонян. Пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов того времени, некоторых предметов быта и украшений, из гробницы Тутанхамона соответствуют соотношениям золотого сечения. Французский архитектор Ле Kорбюзье нашел эти соответствия в пропорциях на рельефах изображающих фараонов, они присутствуют в фасаде храмового комплекса Парфенона. На древних рельефах из египетских гробниц люди держат в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы эти замечательные пропорции.

О золотом сечении знал Платон (IV в до н.э), это отношение упоминается в "Началах" Евклида. После Евклида подобными исследованиями занимались Гипсикл (II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др. В средневековой Европе с ним познакомились по арабским переводам "Начал" Евклида. Переводчик Дж.Kампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Надо отметить, что в то время эти знания были тайными, тщательно оберегались от непосвященных и хранились в строгой тайне.

В эпоху Возрождения золотому сечению уделяли внимание Леонардо да Винчи, Альбрехт Дюрер и творец начертательной геометрии монах Лука Пачоли. Он нашел в нем "божественную суть" - выражение триединства Бога сына, Бога отца и Бога духа Святого. Подразумевалось, что малый отрезок - олицетворение Бога сына, больший отрезок - Бога отца, а все вместе дух Святой.

В последующие века изучение этой пропорции продолжались. В 1855 г. немецкий и профессор Цейзинг опубликовал труд "Эстетические исследования", где объявил пропорцию золотого сечения универсальным для всех явлений природы и искусства. На основании исследования размеров несколько тысяч человеческих тел он пришел к выводу, что оно выражает средний статистический закон и пропорции человеческого тела описываются отношениями членов ряда Фибоначчи. Это проявляется в отношении самых разных частей тела - длины плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т.д.

Золотое сечение встречается не только в искусстве и архитектуре, но и в природе. Пропорции ряда Фибоначчи присутствуют в расположении листьев на деревьях, различных семян, в биоритмах и функционировании головного мозга и зрительного восприятия, музыкальных тонах, стихотворных размерах, в генных структурах живых организмов и тому подобное.

Проявление чисел Фибоначчи не ограничивается законами восприятия и живой природой. Из истории астрономии известно, что в XVIII в. немецкий астроном И. Тициус, с помощью ряда Фибоначчи нашел закономерность в расстояниях между планетами солнечной системы . Сегодня имеются многочисленные данные по проявлению золотого сечения в самых различных физических системах - в энергетических переходах элементарных частиц, в строении некоторых химических соединений и т.д. Установлены связи золотого сечения со свойствами воды, громкости и частоты звука, спектра видимого света , физико-механических свойств твердых тел и т.п. Эти факты - свидетельства независимости числового ряда от условий его проявления, что является одним из признаков его универсальности. Известны даже попытки создания хронологии человеческого общества на основе ряда Фибоначчи.

В качестве причин, объясняющих эти явления обычно приводятся результаты исследований показавших, что наиболее устойчивые природные и социальные конфигурации имеют Фибоначчи-подобную форму, так как являются оптимальными в смысле энергетики и экономии ресурсов.

В XX веке на основе последовательности Фибоначчи была создана одна из наиболее успешных методик анализа финансовых, товарных и иных рынков - волновая теория Эллиота. При наличии некоторого воображения можно усмотреть вполне очевидные аналогии между рынком финансовым и тем, что назовем "рынком политическим". Под последним, будем понимать политическую систему регулирования гражданского общества, где присутствуют интересы различных групп населения, а возможные противоречия между ними разрешаются путем договоренностей в рамках демократических процедур. Вообще, общеизвестно, что политика - это искусство компромисса. А компромисс - это всегда сделка, причем не очень неважно, торговая, посредническая или политическая. В этом смысле все политические деятели - игроки политического рынка.

При этом совершенно не важно, что движет политиками: великие идеи, личные амбиции, интересы поддерживающих их финансово-промышленных групп или определенных групп населения, либо просто, собственная корысть. Важно то, что они, проявляя свою активность, создают политические партии, продвигают некие проекты, реализуемые в законотворческой или иной деятельности. Здесь мы имеем тот же парадокс рыночной экономики. В том случае, если деятельность политиков происходит в правовом поле, независимо от мотивации она объективно полезна обществу, так как своей суетой и мельтешением эти "брокеры политического рынка" решают задачи саморегуляции общественного организма. Продолжая аналогии можно сказать, что "трейдерами и инвесторами политического рынка" можно считать те силы, которые финансируют политическую деятельность .

Если это так, то возникает соблазн применить методы анализа финансовых рынков к рынкам политическим. Одним из таких методов технического анализа является использование волнового закона Эллиота. Более шестидесяти лет тому назад Ральф Эллиотт разработал теорию поведения рынка, которую в наиболее полном виде изложил в книге "Закон природы - секрет Вселенной", вышедшей в 1946 году. Он уже тогда был уверен в том, что его теория охватывает не только поведение фондовых индексов, но и более общие законы природы, управляющие деятельностью человеческого общества.

Суть подхода Эллиота сводится к тому, что общество развивается и изменяется в виде распознаваемых моделей. Он выделил более десятка типов моделей движения ("волн"), которые возникают в потоке рыночных цен, повторяющихся по форме, но не обязательно по времени или амплитуде. Им были даны названия, определения и иллюстрация этих моделей.

Согласно его теории движение происходит по "старому доброму принципу" три шага вперед два шага назад и волны разделяются - импульсные (вперед) и корректирующие (назад). Действительно, достаточно даже беглого взгляда на график индекса Доу-Джонса или на поведение курса валют на рынке FOREX, чтобы увидеть волновое движение огромного количества больших и малых волн. Их отличает свойство, называемое "самоподобием", присущее так называемым фракталам.

Эллиот утверждал, что независимо от размера, форма волн достаточно стабильна, а порядок их чередования поддается разумному объяснению. Закон волн - это модель развития и упадка. Соотношения между отдельными волнами базируются на числах, полученных из ряда Фибоначчи и в частности на золотом сечении.

Некоторые авторы пытаются применить волновой закон Эллиота даже для анализа истории человечества, его глобального развития. Не ставя перед собой столь масштабных задач, попробуем рассмотреть с позиций применимости последовательности Фибоначчи для анализа длительности некоторых процессов, происходивших в России в XX веке, и даже попытаемся дать некий прогноз на первые десятилетия века XXI.

Необходимо отметить, что если для фондового рынка сегодня разработаны и широко используются разнообразные индексы (Доу-Джонса, NASDAQ и др.), что позволяет строить и анализировать графики их изменения во времени. Для рынка политического, такие показатели, возможно, еще предстоит создать в будущем. Интуитивно понятно, что эти гипотетические аналоги индекса Доу-Джонса должны иметь вероятностную, энтропийную природу.

просмотров
просмотров