Совершенное число. Совершенные числа
Мы сталкиваемся с числами буквально каждое мгновение нашей земной жизни. Еще у древних греков существовала гематрия (нумерология). Для изображения чисел использовались буквы алфавита. Каждому имени или написанному слову соответствовало определенное число. На сегодня наука математика достигла очень высокой степени развития. Используемых в различных расчетах чисел так много, что они сведены в определенные группы. Особое место среди них занимают совершенные числа.
Истоки
В Древней Греции люди сравнивали свойства чисел в соответствии с их именами. Делителям чисел была отведена особая роль в нумерологии. В связи с этим, идеальными (совершенными) числами были те, что равнялись сумме своих делителей. Но, древние греки в состав делителей не включали само число. Чтобы лучше понять, что такое совершенные числа, покажем это на примерах.
Исходя из этого определения, самое меньшее идеальное число - это 6. После него будет 28. Затем 496.
Пифагор считал, что есть особенные числа. Такого же мнения придерживался и Эвклид. Для них эти числа были настолько необыкновенны и специфичны, что они ассоциировали их с мистическими. Таким числам свойственно быть совершенными. Вот, что такое совершенные числа для Пифагора и Эвклида. К ним относились 6 и 28.
Ключ
Математики всегда стремятся при решении задачи с несколькими вариантами решения найти общий ключ для нахождения ответа.
Так, они искали формулу, определяющую идеальное число. Но получалась лишь гипотеза, которую нужно было еще доказать. Представьте себе, уже определив, что такое совершенные числа, математики потратили больше тысячи лет, чтобы определить пятое из них! Спустя 1500 лет оно стало известно.
Очень весомый вклад в расчетах идеальных чисел внесли ученые Ферма и Мерсен (XVII ст.). Они предложили формулу для их вычисления. Благодаря французским математикам и трудам многих других ученых на начало 2018 года количество совершенных чисел достигло 50.
Прогресс
Безусловно, если на открытие совершенного числа, которое по счету было уже пятым, ушло полтора тысячелетия, то сегодня благодаря компьютерам они вычисляются намного быстрее. Например, открытие 39-го идеального числа пришлось на 2001 год. Оно имеет 4 миллиона знаков. В феврале 2008 года открыли 44-е совершенное число. В 2010 году - 47-е идеальное, и к 2018 году, как было сказано выше, открыто 50-е число со статусом совершенства.
Есть еще одна интересная особенность . Изучая, что такое совершенные числа, математики сделали открытие - они все четные.
Немного истории
Доподлинно неизвестно, когда впервые были замечены числа, соответствующие идеалу. Однако предполагают, что еще в древнем Египте и Вавилоне они изображались на пальцевом счете. И нетрудно догадаться, какое совершенное число они изображали. было 6. До самого пятого века нашей эры сохранялся счет с помощью пальцев. Для показа числа 6 на руке загибали безымянный палец и выпрямляли остальные.
В Древнем Египте мерой длины служил локоть. Это было равносильно длине двадцати восьми пальцев. А, например, в Древнем Риме был интересный обычай - отводить шестое место на пирах почетным и знатным гостям.
Последователи Пифагора
Последователи Пифагора тоже увлекались идеальными числами. Какое из чисел является совершенным после 28, очень интересовало Евклида (IV в. до н. э.). Он дал ключ к поиску всех идеальных четных чисел. Интерес представляет девятая книга Евклидовых «Начал». Среди его теорем есть та, которая объясняет, что совершенным называется число, обладающее замечательным свойством:
значение р будет равносильно выражению 1+2+4+…+2n, что можно записать как 2n+1-1. Это простое число. Но уже 2np будет совершенным.
Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, нужно рассмотреть все собственные делители числа 2np и подсчитать их сумму.
Это открытие предположительно принадлежит ученикам Пифагора.
Правило Евклида
Кроме того, Евклид доказал: вид четного совершенного числа представлен математически как 2n-1(2n-1). Если n - простое и 2n-1 будет простым.
Правилом Евклида пользовался Никомах из Герасы (I-II в.). Он нашел идеальные числа как 6, 28, 496, 8128. Никомах Геразский высказывался об идеальных числах как про очень красивые, но малочисленные математические понятия.
Полторы тысячи лет спустя немецкий ученый Региомонтан (Йоганн Мюллер) открыл пятое совершенное число в математике. Им оказалось 33 550 336.
Дальнейшие поиски математиков
Числа, которые считаются простыми и относятся к ряду 2n-1, носят название - числа Мерсенна. Это название им дано в честь французского математика, жившего в XVII веке. Именно он открыл восьмое совершенное число в 1644 году.
А вот в 1867 году математический мир потрясла новость от шестнадцатилетнего итальянца Никколо Паганини (тезка известного скрипача), который сообщил о дружественной паре чисел 1184 и 1210. Она ближайшая к 220 и 284. Удивительно, но пару проглядели все именитые математики, занимавшиеся изучением дружественных чисел.
(т. е. всех делителей, отличных от самого́ числа).
Первое совершенное число - 6 (1 + 2 + 3 = 6 ), следующее - 28 (1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 ). По мере того как возрастают, совершенные числа встречаются всё реже. Третье совершенное число - 496, четвёртое - 8 128, пятое - 33 550 336, шестое - 8 589 869 056.
История изучения
Совершенный характер чисел 6 и 28 был признан многими культурами, обратившими внимание на то, что совершает оборот вокруг каждые 28 дней, и утверждавшими, что сотворил мир за 6 дней. В сочинении «Град Божий» высказал мысль о том, что хотя Бог мог сотворить мир в одно мгновенье, Он предпочел сотворить его за 6 дней, дабы поразмыслить над совершенством мира. По мнению Св. Августина, число 6 совершенно не потому, что Бог избрал его, а потому, что совершенство внутренне присуще природе этого числа. «Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил все сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил все сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней».
Совершенные числа были предметом пристального внимания пифагорейцев, хотя в их время были известны только 2 первых совершенных числа. В частности, заметил, что совершенные числа не только равны сумме своих делителей, но и обладают некоторыми другими изящными свойствами. Например, совершенные числа всегда равны сумме последовательных натуральных чисел, начиная с единицы (т. е. являются ):
| 6 | = 1 + 2 + 3 , |
| 28 | = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 , |
| 496 | = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 30 + 31 , |
| 8128 | = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + ... + 126 + 127 . |
Кроме того, одно из его открытий состояло в том, что совершенство чисел тесно связано с «двоичностью». Числа 4=2\cdot2 , 8=2\cdot2\cdot2 , 16=2\cdot2\cdot2\cdot2 и т. д. называются степенями числа 2 и могут быть представлены в виде 2 n , где n - число перемноженных двоек. Все степени числа 2 чуть-чуть «не достают» до того, чтобы стать совершенными, так как сумма их делителей всегда на единицу меньше самого числа, т. е. все степени двойки :
| 2 2 | =2\cdot2 | = 4 , | 1 + 2 | = 3 , |
| 2 3 | =2\cdot2\cdot2 | = 8 , | 1 + 2 + 4 | = 7 , |
| 2 4 | =2\cdot2\cdot2\cdot2 | = 16 , | 1 + 2 + 4 + 8 | = 15 , |
| 2 5 | =2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 | = 32 , | 1 + 2 + 4 + 8 + 16 | = 31 , |
Так как каждому чётному совершенному числу соответствует некоторое простое число Мерсенна (и наоборот), то открытие новых чётных совершенных чисел равносильно открытию новых простых чисел Мерсенна, распределённым поиском которых занимается проект . На данный момент (ноябрь 2006) известно 44 простых числа Мерсенна, а значит, и 44 чётных совершенных числа.
Совершенная красота и совершенная бесполезность совершенных чисел
Перестаньте отыскивать
интересные числа!
Оставьте для интереса хотя бы
одно неинтересное число!
Из письма читателя Мартину Гарднеру
Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа. Совершенным называется число, равное сумме всех своих делителей (включая 1, но исключая само число). Наименьшее из совершенных чисел 6 равно сумме трех своих делителей 1, 2 и 3. Следующее совершенное число 28=1+2+4+7+14. Ранние комментаторы Ветхого завета, пишет в своей книге «Математические новеллы» Мартин Гарднер, усматривали в совершенстве чисел 6 и 28 особый смысл. Разве не за 6 дней был сотворен мир, восклицали они, и разве Луна обновляется не за 28 суток? Первым крупным достижением теории совершенных чисел была теорема Евклида о том, что число 2 n-1 (2n-1) - четное и совершенное, если число 2 n-1 - простое. Лишь две тысячи лет спустя Эйлер доказал, что формула Евклида содержит все четные совершенные числа. Поскольку не известно ни одного нечетного совершенного числа (у читателей есть шанс найти его и прославить свое имя), то обычно, говоря о совершенных числах, имеют в виду четное совершенное число.
Приглядевшись к формуле Евклида, мы увидим связь совершенных чисел с членами геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, … Эту связь лучше проследить на примере древней легенды , согласно которой Раджа обещал изобретателю шахмат любую награду. Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую клетку - два зерна, на третью - четыре, на четвертую - восемь и так далее. На последнюю, 64-ю клетку, должно быть насыпано 2 63 зерен, а всего на шахматной доске окажется «кучка» из 2 64 -1 зерен пшеницы. Это больше, чем собрано во всех урожаях за историю человечества. Если на каждой клетке шахматной доски мы напишем, сколько зерен пшеницы причиталось бы за нее изобретателю шахмат, а затем снимем с каждой клетки по одному зерну, то число оставшихся зерен будет точно соответствовать выражению, стоящему в скобках в формуле Евклида. Если это число простое, то, умножив его на число зерен на предыдущей клетке (то есть на 2n-1), мы получим совершенное число! Простые числа вида 2 n -1 называются числами Мерсенна в честь французского математика XVII века. На шахматной доске со снятыми по одному зерну с каждой клетки есть девять чисел Мерсенна, соответствующих девяти простым числам, меньших 64, а именно: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31 и 61. Умножив их на число зерен на предыдущих клетках, мы получим девять первых совершенных чисел. (Числа n=29, 37, 41, 43, 47, 53, и 59 не дают числа Мерсенна, т.е. соответствующие им числа 2n-1 составные.) Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел. Например, все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенное число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник. Из той же формулы Евклида следует другое любопытное свойство совершенных чисел: все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13+33+53+… Еще более удивительно, что сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2. Например, взяв делители совершенного числа 28, получим:
Кроме того, интересны
представление совершенных чисел в двоичной
форме, чередование последних цифр совершенных
чисел и другие любопытные вопросы, которые можно
найти в литературе по занимательной математике.
Главные из них - наличие нечетного совершенного
числа и существование наибольшего совершенного
числа - до сих пор не решены. От совершенных чисел
повествование непременно перетекает к
дружественным числам. Это такие два числа, каждое
из которых равно сумме делителей второго
дружественного числа. Наименьшие из
дружественных чисел 220 и 284 были известны еще
пифагорейцам, которые считали их символом
дружбы. Следующая пара дружественных чисел 17296 и
18416 была открыта французским юристом и
математиком Пьером Ферма лишь в 1636 году, а
последующие числа находили Декарт, Эйлер и
Лежандр. Шестнадцатилетний итальянец Никколо
Паганини (тезка знаменитого скрипача) в 1867 году
потряс математический мир сообщением о том, что
числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к
220 и 284, проглядели все знаменитые математики,
изучавшие дружественные числа.
Определенный интерес для любителей представляет
программа поиска совершенных чисел. Ее схема
проста: в цикле для каждого числа проверять сумму
его делителей и сравнивать ее с самим числом, -
если они равны, то это число совершенное.
VAR I,N,Summa: LONGINT ;
Delitel: INTEGER;
begin FOR I:=3 TO 34000000 DO BEGIN Summa:=1;
FOR Delitel:=2 TO SQRT(I)
DO BEGIN N:=(I DIV Delitel);
IF N*Delitel=I THEN Summa:=Summa + Delitel + (I
DIV Delitel);
END;
IF INT(SQRT(I))=SQRT(I) THEN Summa:=Summa-INT(SQRT(I));
IF I=Summa THEN WRITELN(I,’ - ‘,Summa) ;
END ;
END.
Обратите внимание, что количество проверяемых делителей каждого числа растет до квадратного корня из числа. Подумайте о том, почему это так. И о том, что истинная красота - это нечто, в хозяйстве совершенно бесполезное, но бесконечно дорогое для настоящих ценителей.
33 550 336 , 8 589 869 056 , 137 438 691 328 , 2 305 843 008 139 952 128 , 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 , 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 , …
Примеры
- 1-е совершенное число - 6 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 3; их сумма равна 6.
- 2-е совершенное число - 28 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 7, 14; их сумма равна 28.
- 3-е совершенное число - 496 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; их сумма равна 496.
- 4-е совершенное число - 8128 имеет следующие собственные делители: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; их сумма равна 8128.
История изучения
Чётные совершенные числа
Алгоритм построения чётных совершенных чисел описан в IX книге Начал Евклида , где было доказано, что число является совершенным, если число является простым (т. н. простые числа Мерсенна) . Впоследствии Леонард Эйлер доказал, что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом.
Первые четыре совершенных числа (соответствующие р = 2, 3, 5 и 7) приведены в Арифметике Никомаха Геразского . Пятое совершенное число 33 550 336 , соответствующее р = 13, обнаружил немецкий математик Региомонтан (XV век). В XVI веке немецкий учёный Шейбель нашел ещё два совершенных числа: 8 589 869 056 и 137 438 691 328 . Они соответствуют р = 17 и р = 19. В начале XX века были найдены ещё три совершенных числа (для р = 89, 107 и 127). В дальнейшем поиск затормозился вплоть до середины XX века, когда с появлением компьютеров стали возможными вычисления, превосходящие человеческие возможности.
На январь 2016 года известно 49 простых чисел Мерсенна и соответствующих им чётных совершенных чисел, поиском новых простых чисел Мерсенна занимается проект распределённых вычислений GIMPS .
Нечётные совершенные числа
Нечётных совершенных чисел до сих пор не обнаружено, однако не доказано и то, что их не существует. Неизвестно также конечное ли число нечётных совершенных чисел, если они существуют.
Доказано, что нечётное совершенное число, если оно существует, превышает 10 1500 ; при этом число простых делителей такого числа с учётом кратности не меньше 101 . Поиском нечётных совершенных чисел занимается проект распределённых вычислений .
Свойства
- Все чётные совершенные числа (кроме 6) являются суммой кубов последовательных нечётных натуральных чисел
Особенный («совершенный») характер чисел 6 и 28 был признан в культурах, имеющих основание в авраамических религиях , утверждающих, что Бог сотворил мир за 6 дней и обративших внимание на то, что Луна совершает оборот вокруг Земли примерно за 28 дней.
Джеймс А. Эшельман в книге «Еврейские иерархические имена Брии» пишет, что в соответствии с гематрией :
«Не менее важна идея, выраженная числом 496. Это „теософское расширение“ числа 31 (то есть сумма всех целых чисел от 1 до 31). Помимо всего прочего, это сумма слова малхут (царство). Таким образом, Царство, полное проявление первичной идеи Бога, предстает в гематрии как естественное дополнение или проявление числа 31, которое является числом имени 78».
«Число 6 совершенно само по себе, а не потому, что Господь сотворил всё сущее за 6 дней; скорее наоборот, Бог сотворил всё сущее за 6 дней потому, что это число совершенно. И оно оставалось бы совершенным, даже если бы не было сотворения за 6 дней.»
См. также
- Слегка избыточные числа (квазисовершенные числа)
Напишите отзыв о статье "Совершенное число"
Примечания
Ссылки
- Депман И. // Квант . - 1991. - № 5 . - С. 13-17 .
- Евгений Епифанов. . Элементы.
Общие сведения Факторизационные формы С ограниченными делителями Числа с многими делителями Связанные с аликвотными
последовательностямиДругое Отрывок, характеризующий Совершенное число
В ту минуту, когда Ростов и Ильин проскакали по дороге, княжна Марья, несмотря на отговариванье Алпатыча, няни и девушек, велела закладывать и хотела ехать; но, увидав проскакавших кавалеристов, их приняли за французов, кучера разбежались, и в доме поднялся плач женщин.
– Батюшка! отец родной! бог тебя послал, – говорили умиленные голоса, в то время как Ростов проходил через переднюю.
Княжна Марья, потерянная и бессильная, сидела в зале, в то время как к ней ввели Ростова. Она не понимала, кто он, и зачем он, и что с нею будет. Увидав его русское лицо и по входу его и первым сказанным словам признав его за человека своего круга, она взглянула на него своим глубоким и лучистым взглядом и начала говорить обрывавшимся и дрожавшим от волнения голосом. Ростову тотчас же представилось что то романическое в этой встрече. «Беззащитная, убитая горем девушка, одна, оставленная на произвол грубых, бунтующих мужиков! И какая то странная судьба натолкнула меня сюда! – думал Ростов, слушяя ее и глядя на нее. – И какая кротость, благородство в ее чертах и в выражении! – думал он, слушая ее робкий рассказ.
Когда она заговорила о том, что все это случилось на другой день после похорон отца, ее голос задрожал. Она отвернулась и потом, как бы боясь, чтобы Ростов не принял ее слова за желание разжалобить его, вопросительно испуганно взглянула на него. У Ростова слезы стояли в глазах. Княжна Марья заметила это и благодарно посмотрела на Ростова тем своим лучистым взглядом, который заставлял забывать некрасивость ее лица.
– Не могу выразить, княжна, как я счастлив тем, что я случайно заехал сюда и буду в состоянии показать вам свою готовность, – сказал Ростов, вставая. – Извольте ехать, и я отвечаю вам своей честью, что ни один человек не посмеет сделать вам неприятность, ежели вы мне только позволите конвоировать вас, – и, почтительно поклонившись, как кланяются дамам царской крови, он направился к двери.
Почтительностью своего тона Ростов как будто показывал, что, несмотря на то, что он за счастье бы счел свое знакомство с нею, он не хотел пользоваться случаем ее несчастия для сближения с нею.
Княжна Марья поняла и оценила этот тон.
– Я очень, очень благодарна вам, – сказала ему княжна по французски, – но надеюсь, что все это было только недоразуменье и что никто не виноват в том. – Княжна вдруг заплакала. – Извините меня, – сказала она.
Ростов, нахмурившись, еще раз низко поклонился и вышел из комнаты.– Ну что, мила? Нет, брат, розовая моя прелесть, и Дуняшей зовут… – Но, взглянув на лицо Ростова, Ильин замолк. Он видел, что его герой и командир находился совсем в другом строе мыслей.
Ростов злобно оглянулся на Ильина и, не отвечая ему, быстрыми шагами направился к деревне.
– Я им покажу, я им задам, разбойникам! – говорил он про себя.
Алпатыч плывущим шагом, чтобы только не бежать, рысью едва догнал Ростова.
– Какое решение изволили принять? – сказал он, догнав его.
Ростов остановился и, сжав кулаки, вдруг грозно подвинулся на Алпатыча.
– Решенье? Какое решенье? Старый хрыч! – крикнул он на него. – Ты чего смотрел? А? Мужики бунтуют, а ты не умеешь справиться? Ты сам изменник. Знаю я вас, шкуру спущу со всех… – И, как будто боясь растратить понапрасну запас своей горячности, он оставил Алпатыча и быстро пошел вперед. Алпатыч, подавив чувство оскорбления, плывущим шагом поспевал за Ростовым и продолжал сообщать ему свои соображения. Он говорил, что мужики находились в закоснелости, что в настоящую минуту было неблагоразумно противуборствовать им, не имея военной команды, что не лучше ли бы было послать прежде за командой.
– Я им дам воинскую команду… Я их попротивоборствую, – бессмысленно приговаривал Николай, задыхаясь от неразумной животной злобы и потребности излить эту злобу. Не соображая того, что будет делать, бессознательно, быстрым, решительным шагом он подвигался к толпе. И чем ближе он подвигался к ней, тем больше чувствовал Алпатыч, что неблагоразумный поступок его может произвести хорошие результаты. То же чувствовали и мужики толпы, глядя на его быструю и твердую походку и решительное, нахмуренное лицо.
После того как гусары въехали в деревню и Ростов прошел к княжне, в толпе произошло замешательство и раздор. Некоторые мужики стали говорить, что эти приехавшие были русские и как бы они не обиделись тем, что не выпускают барышню. Дрон был того же мнения; но как только он выразил его, так Карп и другие мужики напали на бывшего старосту.
– Ты мир то поедом ел сколько годов? – кричал на него Карп. – Тебе все одно! Ты кубышку выроешь, увезешь, тебе что, разори наши дома али нет?
– Сказано, порядок чтоб был, не езди никто из домов, чтобы ни синь пороха не вывозить, – вот она и вся! – кричал другой.
– Очередь на твоего сына была, а ты небось гладуха своего пожалел, – вдруг быстро заговорил маленький старичок, нападая на Дрона, – а моего Ваньку забрил. Эх, умирать будем!
– То то умирать будем!
– Я от миру не отказчик, – говорил Дрон.
– То то не отказчик, брюхо отрастил!..
Два длинные мужика говорили свое. Как только Ростов, сопутствуемый Ильиным, Лаврушкой и Алпатычем, подошел к толпе, Карп, заложив пальцы за кушак, слегка улыбаясь, вышел вперед. Дрон, напротив, зашел в задние ряды, и толпа сдвинулась плотнее.
– Эй! кто у вас староста тут? – крикнул Ростов, быстрым шагом подойдя к толпе.
– Староста то? На что вам?.. – спросил Карп. Но не успел он договорить, как шапка слетела с него и голова мотнулась набок от сильного удара.
– Шапки долой, изменники! – крикнул полнокровный голос Ростова. – Где староста? – неистовым голосом кричал он.
– Старосту, старосту кличет… Дрон Захарыч, вас, – послышались кое где торопливо покорные голоса, и шапки стали сниматься с голов.
– Нам бунтовать нельзя, мы порядки блюдем, – проговорил Карп, и несколько голосов сзади в то же мгновенье заговорили вдруг:
– Как старички пороптали, много вас начальства…
– Разговаривать?.. Бунт!.. Разбойники! Изменники! – бессмысленно, не своим голосом завопил Ростов, хватая за юрот Карпа. – Вяжи его, вяжи! – кричал он, хотя некому было вязать его, кроме Лаврушки и Алпатыча.
Лаврушка, однако, подбежал к Карпу и схватил его сзади за руки.
– Прикажете наших из под горы кликнуть? – крикнул он.
Алпатыч обратился к мужикам, вызывая двоих по именам, чтобы вязать Карпа. Мужики покорно вышли из толпы и стали распоясываться.
– Староста где? – кричал Ростов.
Дрон, с нахмуренным и бледным лицом, вышел из толпы.
– Ты староста? Вязать, Лаврушка! – кричал Ростов, как будто и это приказание не могло встретить препятствий. И действительно, еще два мужика стали вязать Дрона, который, как бы помогая им, снял с себя кушан и подал им.
Лев Николаевич Толстой шутливо «хвастался тем, что дата его рождения (28 августа по календарю того времени) является совершенным числом. Год рождения Л. Н. Толстого (1828) – тоже интересное число: последние две цифры (28) образуют совершенное число; а если переставить местами первые две цифры, то получится 8128 – четвертое совершенное число.
Совершенные числа красивы. Но известно, что красивые вещи редки и немногочисленны. Избыточными и недостаточными являются почти все числа, а совершенных немного.
«Совершенным называется то, что по достоинствам и ценности не может быть пройдено в своей области» (Аристотель).
Совершенные числа – исключительные числа, недаром еще древние греки видели в них некую совершенную гармонию. Например, число 5 не может быть совершенным числом еще и потому, что пятерочка образует пирамиду, несовершенную фигуру, в которой основание не симметрично боковым сторонам.
Но только два первых числа 6 и 28 месте действительно обожествляли. Есть много примеров: в Древней Греции на 6-ом месте на званном пиру возлежал самый уважаемый, самый знаменитый и почетный гость, в Древнем Вавилоне круг делили на 6 частей. В Библии утверждается, что мир создан за 6 дней, ведь нет числа совершенней шести. Во-первых, 6 самое меленькое, самое первое совершенное число. Недаром на него обратили внимание великие Пифагор и Евклид, Ферма и Эйлер. Во-вторых, 6 единственное натуральное число , равное произведению своих правильных натуральных делителей: 6=1*2*3. В-третьих, 6 – единственная совершенная цифра. В-четвертых, удивительными свойствами обладает число, состоящее из 3-х шестерок, 666 – число дьявола: 666 равно сумме сумме квадратов первых семи простых чисел и сумме первых 36-ти натуральных чисел:
666=22+32+52+72+112+132+172,
666=1+2+3++34+35+36.
Интересна одна геометрическая интерпретация 6, это правильный шестиугольник. Сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной около него окружности. Правильный шестиугольник состоит из шести треугольников, у которых все стороны и углы равны. Правильный шестиугольник встречается в природе, это медовые соты пчел, а мед один из самых полезных продуктов в мире.
Теперь о 28. Древние римляне очень уважали это число, в римских академиях наук было строго по 28 членов, в египетском мере длина локтя 28 пальцев, в лунном календаре 28 дней. А про остальные совершенные числа ничего нет. Почему? Загадка. Совершенные числа вообще загадочные. Многие их загадки до сих пор не могут отгадать, хотя над этим задумывались более двух тысяч лет назад.
Одна из таких загадок, почему смесь совершеннейшего числа 6 и божественного 3, число 666, число дьявола. Вообще есть что-то непонятное между совершенными числами и христианской церковью . Ведь за нахождением хотя бы одного совершенного числа человеку прощались все его прегрешения, и жизнь в раю после смерти. Может церковь знает что-нибудь такое об этих числах, что никому и в голову не придет.
Неразрешимая загадка совершенных чисел, бессилие разума перед их тайной, их непостижимость привели к признаниям божественности этих удивительных чисел. Один из наиболее выдающихся ученых средневековья, друг и учитель Карла Великого, аббат Алкуин, один из виднейших деятелей просвещения, организатор школ и автор учебников по арифметике, был твердо убежден, что человеческий род только по тому несовершенен, в нем только поэтому царят зло, горе и насилие, что он произошел от восьми людей, спасшихся в ноевом ковчеге о потопа, а « восемь» - число несовершенное. Род людской до потопа был более совершенен – он произошел от одного Адама, а единица может быть причислена к совершенным числам: она равна самой себе – своему единственному делителю.
После Пифагора многие пытались найти следующие числа или формулу для их выведения, но это удалось только Евклиду через несколько веков после Пифагора. Он доказал, что, если число можно представить в виде 2 р-1(2 р-1), и (2 р -1) – простое, то оно совершенно. Действительно, если р=2, то 2 2-1(2 2 -1)=6, а если р=3, 2 3-1(2 3 -1)=28.
Благодаря этой формуле Евклид нашел еще два совершенных числа, при р=5: 2 5-1(2 5 -1)= 496, 496=1+2+4+8+16+31+62+124+248, и при р= 7: 2 7-1(2 7 -1)=8128, 8128=1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064.
И опять почти полторы тысячи лет не было просветов на небосклоне скрытных совершенных чисел, пока в 15 веке не было обнаружено пятое число, оно тоже подчинялось правилу Евклида, только при р=13: 2 13-1(2 13 -1)=33550336. Приглядевшись к формуле Евклида, мы увидим связь совершенных чисел с членами геометрической прогрессии 1, 2, 4, 8, 16, эту связь лучше проследить на примере древней легенды, согласно которой Раджа обещал изобретателю шахмат любую награду. Изобретатель попросил положить на первую клетку шахматной доски одно зерно пшеницы, на вторую клетку – два зерна, на третью – четыре, на четвертую – восемь и так далее. На последнюю, 64-ю клетку, должно быть насыпано 264-1 зерен пшеницы. Это больше, чем собрано во всех урожаях за историю человечества. Формула Евклида позволяет без труда доказывать многочисленные свойства совершенных чисел. Например, все совершенные числа треугольные. Это значит, что, взяв совершенное число шаров, мы всегда сможем сложить из них равносторонний треугольник. Из той же формулы Евклида следует другое любопытное свойство совершенных чисел: все совершенные числа, кроме 6, можно представить в виде частичных сумм ряда кубов последовательных нечетных чисел 13+33+53+ Еще более удивительно, что сумма величин, обратных всем делителям совершенного числа, включая его самого, всегда равна 2. Например, взяв делители совершенного числа 28, получим:
Кроме того, интересны представления совершенных чисел в двоичной форме, чередование последних цифр совершенных чисел и другие любопытные вопросы, которые можно найти в литературе по занимательной математике.
Еще через двести лет французский математик Марин Мерсенн без каких-либо доказательств заявил, что следующие шесть совершенных чисел должны также иметь евклидовую форму со значениями р, равными 17, 19, 31, 67, 127, 257. Очевидно, что сам Мерсенн не мог проверить непосредственным вычислением свое утверждение, ведь для этого он должен был доказать, что числа 2 р-1(2 р -1) с указанными им значениями р являются простыми, но тогда это было выше человеческих сил. Так до сих пор и неизвестно как рассуждал Мерсенн, когда заявил, что его числа соответствуют совершенным числам Евклида. Есть предположение: если посмотреть на формулу суммы первых k членов геометрической прогрессии 1+2+22++2k-2+2k-1, то видно, что числа Мерсенна есть не что иное, как простые суммы членов геометрической прогрессии с основанием 2:
67=1+2+64 и т. д.
Обобщенным числом Мерсенна можно назвать простое значение суммы членов геометрической прогрессии с основанием а:
1+а+а2++ак-1=(ак-1)/а-1.
Ясно, что множество всех обобщенных чисел Мерсенна совпадает с множеством всех нечетных простых чисел, поскольку если к – простое или к>2, то к=(к-2)к/к-2=(к-1)2-1/(к-1)-1.
Теперь каждый может самостоятельно исследовать и вычислять числа Мерсенна. Вот начало таблицы.
а к- при которых ак-1/а-1 просты
В настоящее время на простых числах Мерсенна основана защита электронной информации, а также они используются в криптографии и других приложениях математики.
Но это только предположение, свою тайну Мерсенн унес с собой в могилу.
Следующим в череде открытий совершенных был великий Леонард Эйлер, он доказал, что все четные совершенные числа имеют вид указанные Евклидом и, что числа Мерсенна 17, 19, 31 и 127 верны, но 67 и 257 не верны.
Р=17,8589869156 (шестое число)
Р=19,137438691328 (седьмое число)
Р=31,2305843008139952128 (восьмое число).
Девятое число в 1883 году нашел, совершив настоящий подвиг, потому что считал без всяких приборов, сельский священник из под Перьми Иван Михеевич Первушин, он доказал что 2р-1, при р=61:
2305843009213693951- простое число, 261-1(261-1)= 2305843009213693951*260 – совершенно в нем 37 цифр.
В начале 20 столетия появились первые механические счетные машины, на этом кончилась эпоха, когда люди считали вручную. При помощи этих механизмов и ЭВМ были найдены все остальные совершенные числа, которые сейчас известны.
Десятое число было найдено в 1911 году, в нем 54 цифры:
618970019642690137449562111*288, р=89.
Одиннадцатое, имеющее 65 цифр, открыли в 1914 году:
162259276829213363391578010288127*2106, р=107.
Двенадцатое также нашли в 1914 году, 77 цифр р=127:2126(2127-1).
Четырнадцатое было обнаружено в тот же день, 366 цифр р=607, 2606(2607-1).
В июне 1952 года найдено 15-ое число 770 цифр р=1279, 21278(21279-1).
Шестнадцатое и семнадцатое открыто в октябре 1952 года:
22202(22203-1), 1327 цифр р=2203 (16-ое число)
22280(22281-1), 1373 цифры р=2281 (17-ое число).
Восемнадцатое число нашли в сентябре 1957 года, 2000 цифр р=3217.
Поиски последующих совершенных чисел требовали все больше объема вычислений, но вычислительная техника непрерывно совершенствовалась, и в 1962 году было найдено 2 числа (р=4253 и р=4423), в 1965 году еще три числа (р=9689, р=9941, р=11213).
Сейчас известно более 30 совершенных чисел, р самого большого равно 216091.
Но это, по сравнению с загадками, которые оставил Евклид: существуют ли нечетные совершенные числа, конечен ли ряд четных евклидовских совершенных чисел и есть ли четные совершенные числа, не подчиняющиеся формуле Евклида – это и есть три самые главные загадки совершенных чисел. Одну из которых разгадал Эйлер, доказав, что четных совершенных чисел, кроме евклидовских не существует. 2 остальные остаются нерешенными даже в 21 веке, когда ЭВМ достигло такого уровня, что могут производить миллионы операций в секунду. Наличие нечетного несовершенного числа и существование наибольшего совершенного числа – до сих пор не решены.
Без сомнений, совершенные числа оправдывают свое название.
Среди всех интересных натуральных чисел, издавна изучаемых математиками, особое место занимают совершенные и близко связанные с ними дружественные числа. Это такие два числа, каждые из которых равно сумме делителей второго дружественного числа. Наименьшие из дружественных чисел 220 и 284 были известны еще пифагорейцам, которые считали их символом дружбы. Следующие пары дружественных чисел 17296 и 18416 была открыта французским юристом и математиком Пьером Ферма лишь в1636 году, а последующие числа находил Декарт, Эйлер и Лежандр. 16-летний итальянец Никколо Паганини (тезка знаменитого скрипача) в 1867 году потряс математический мир с сообщением о том, что числа 1184 и 1210 дружественные! Эту пару, ближайшую к 220 и 284, проглядели все знаменитые математики, изучавшие дружественные числа.
И в конце предлагается решить следующие задачи, связанные с совершенными числами:
1. Докажите, что число вида 2 р-1(2 р -1), где 2к-1 – простое число, является совершенным.
2. Обозначим через, где - натуральное число, сумму всех его делителей числа. Докажите, что если числа - взаимно просты, то.
3. Найдите еще примеры того, что совершенные числа очень почитались древними.
4. Посмотрите внимательно на фрагмент картины Рафаэля « Сикстинская Мадонна ». Какое отношение он имеет к совершенным числам.
5. Вычислите первые 15 чисел Мерсенна. Какие из них являются простыми и какие совершенные числа им соответствуют.
6. Используя определение совершенного числа, представьте единицу в виде суммы различных единичных дробей, знаменателями которых являются все делители данного числа.
7. Расставьте 24 человека в 6 рядов так, чтобы каждый ряд состоял из 5 человек.
8. Пользуясь пятью двойками и арифметическими заклинаниями, запишите число 28.