Как найти n в геометр прогрессии. Геометрическая прогрессия

>>Математика: Геометрическая прогрессия

Для удобства читателя этот параграф строится точно по тому же плану, которого мы придерживались в предыдущем параграфе.

1. Основные понятия.

Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число называют геометрической прогрессией . При этом число 5 называют знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия - это числовая последовательность (b n), заданная рекуррентно соотношениями

Можно ли, глядя на числовую последовательность, определить, является ли она геометрической прогрессией? Можно. Если вы убедились в том, что отношение любого члена последовательности к предыдущему члену постоянно то перед вами- геометрическая прогрессия.
Пример 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
Ь 1 = 1, q = 3.

Пример 2.

Это геометрическая прогрессия, у которой
Пример 3.


Это геометрическая прогрессия, у которой
Пример 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 - 8, q = 1.

Заметим, что эта последовательность является и арифметической прогрессией (см. пример 3 из § 15).

Пример 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 = 2, q = -1.

Очевидно, что геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1 (см. пример 1), и убывающей, если b 1 > 0, 0 < q < 1 (см. пример 2).

Для обозначения того, что последовательность (b n) является геометрической прогрессией, иногда бывает удобна следующая запись:


Значок заменяет словосочетание «геометрическая прогрессия».
Отметим одно любопытное и в то же время достаточно очевидное свойство геометрической прогрессии:
Если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е. является геометрической прогрессией.
У второй геометрической прогрессии первый член равен а равен q 2 .
Если в геометрической прогрессии отбросить все члены, следующие за b n , то получится конечная геометрическая прогрессия
В дальнейших пунктах этого параграфа мы рассмотрим наиболее важные свойства геометрической прогрессии.

2. Формула п-го члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим геометрическую прогрессию знаменателем q. Имеем:


Нетрудно догадаться, что для любого номера n справедливо равенство


Это - формула n-го члена геометрической прогрессии.

Замечание.

Если вы прочли важное замечание из предыдущего параграфа и поняли его, то попробуйте доказать формулу (1) методом математической индукции подобно тому, как зто было сделано для формулы n-го члена арифметической прогрессии .

Перепишем формулу n-го члена геометрической прогрессии


и введем обозначения: Получим у = mq 2 , или, подробнее,
Аргумент х содержится в показателе степени, поэтому такую функцию называют показательной функцией. Значит, геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию, заданную на множестве N натуральных чисел . На рис. 96а изображен график функции рис. 966 - график функции В обоих случаях имеем изолированные точки (с абсциссами х= 1, х = 2, х = 3 и т.д.), лежащие на некоторой кривой (на обоих рисунках представлена одна и та же кривая, только по-разному расположенная и изображенная в разных масштабах). Эту кривую называют экспонентой. Подробнее о показательной функции и ее графике речь пойдет в курсе алгебры 11-го класса.


Вернемся к примерам 1-5 из предыдущего пункта.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Это геометрическая прогрессия, у которой Ь 1 = 1, q = 3. Составим формулу n-го члена
2) Это геометрическая прогрессия, у которой Составим формулу n-го члена

Это геометрическая прогрессия, у которой Составим формулу n-го члена
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 = 8, q = 1. Составим формулу n-го члена
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 = 2, q = -1. Составим формулу n-го члена

Пример 6.

Дана геометрическая прогрессия

Во всех случаях в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии

а) Положив в формуле n-го члена геометрической прогрессии n = 6, получим


б) Имеем


Так как 512 = 2 9 , то получаем п - 1 = 9, п = 10.


г) Имеем

Пример 7.

Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равна 48, сумма пятого и шестого членов прогрессии также равна 48. Найти двенадцатый член этой прогрессии.

Первый этап. Составление математической модели .

Условия задачи можно кратко записать так:


Воспользовавшись формулой n-го члена геометрической прогрессии, получим:
Тогда второе условие задачи (b 7 - b 5 = 48) можно записать в виде


Третье условие задачи (b 5 +b 6 = 48) можно записать в виде


В итоге получаем систему двух уравнений с двумя переменными b 1 и q:


которая в сочетании с записанным выше условием 1) и представляет собой математическую модель задачи.

Второй этап.

Работа с составленной моделью. Приравняв левые части обоих уравнений системы, получим:


(мы разделили обе части уравнения на выражение b 1 q 4 , отличное от нуля).

Из уравнения q 2 - q - 2 = 0 находим q 1 = 2, q 2 = -1. Подставив значение q = 2 во второе уравнение системы, получим
Подставив значение q = -1 во второе уравнение системы, получим b 1 1 0 = 48; это уравнение не имеет решений.

Итак, b 1 =1, q = 2 - эта пара является решением составленной системы уравнений.

Теперь мы можем записать геометрическую прогрессию, о которой идет речь в задаче: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Третий этап.

Ответ на вопрос задачи. Требуется вычислить b 12 . Имеем

О т в е т: b 12 = 2048.

3. Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия


Обозначим через S n сумму ее членов, т.е.

Выведем формулу для отыскания этой суммы .

Начнем с самого простого случая , когда q = 1. Тогда геометрическая прогрессия b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn состоит из n чисел, равных b 1 , т.е. прогрессия имеет вид b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Сумма этих чисел равна nb 1 .

Пусть теперь q = 1 Для отыскания S n применим искусственный прием: выполним некоторые преобразования выражения S n q. Имеем:

Выполняя преобразования, мы, во-первых, пользовались определением геометрической прогрессии, согласно которому (см. третью строчку рассуждений); во-вторых, прибавили и вычли отчего значение выражения, разумеется, не изменилось (см. четвертую строчку рассуждений); в-третьих, воспользовались формулой n-го члена геометрической прогрессии:


Из формулы (1) находим:

Это - формула суммы n членов геометрической прогрессии (для случая, когда q = 1).

Пример 8.

Дана конечная геометрическая прогрессия

а) сумму членов прогрессии; б) сумму квадратов ее членов.

б) Выше (см. с. 132) мы уже отмечали, что если все члены геометрической прогрессии возвести в квадрат , то получится геометрическая прогрессия с первым членом Ь 2 и знаменателем q 2 . Тогда сумма шести членов новой прогрессии будет вычисляться по

Пример 9.

Найти 8-й член геометрической прогрессии, у которой


Фактически мы доказали следующую теорему.

Числовая, последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого Теорема (и последнего, в случае конечной последовательности),равен произведению предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство геометрической прогрессии).

Геометрическая прогрессия – это новый вид числовой последовательности, с которым нам предстоит познакомиться. Для успешного знакомства не помешает хотя бы знать и понимать, . Тогда и с геометрической прогрессией проблем не будет.)

Что такое геометрическая прогрессия? Понятие геометрической прогрессии.

Начинаем экскурсию, как обычно, с элементарщины. Пишу незаконченную последовательность чисел:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Сможете уловить закономерность и сказать, какие числа пойдут дальше? Ясен перец, дальше пойдут числа 100000, 1000000 и так далее. Даже без особого умственного напряжения всё ясно, правда ведь?)

Ладно. Ещё пример. Пишу вот такую последовательность:

1, 2, 4, 8, 16, …

Сможете сказать, какие числа пойдут дальше, вслед за числом 16 и назвать восьмой член последовательности? Если вы сообразили, что это будет число 128, то очень хорошо. Значит, полдела в понимании смысла и ключевых моментов геометрической прогрессии уже сделано. Можно расти дальше.)

А теперь снова переходим от ощущений к строгой математике.

Ключевые моменты геометрической прогрессии.

Ключевой момент №1

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел. Как и прогрессия. Ничего хитрого. Только устроена эта последовательность по-другому. Отсюда, естественно, и другое название носит, да…

Ключевой момент №2

Со вторым ключевым моментом вопрос похитрее будет. Давайте вернёмся чуть назад и вспомним ключевое свойство арифметической прогрессии. Вот оно: каждый член отличается от предыдущего на одну и ту же величину.

А можно ли похожее ключевое свойство сформулировать для геометрической прогрессии? Подумайте немного… Присмотритесь к приведённым примерам. Догадались? Да! В геометрической прогрессии (любой!) каждый её член отличается от предыдущего в одно и то же число раз. Всегда!

В первом примере это число – десятка. Какой член последовательности ни возьми, он больше предыдущего в десять раз.

Во втором примере это – двойка: каждый член больше предыдущего в два раза.

Именно этим ключевым моментом геометрическая прогрессия и отличается от арифметической. В арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением одной и той же величины к предыдущему члену. А здесь – умножением предыдущего члена на одну и ту же величину. Вот и вся разница.)

Ключевой момент №3

Этот ключевой момент полностью идентичен таковому для арифметической прогрессии. А именно: каждый член геометрической прогрессии стоит на своём месте. Всё точь-в-точь как и в арифметической прогрессии и комментарии, я думаю, излишни. Есть первый член, есть сто первый и т.д. Переставим местами хотя бы два члена – закономерность (а вместе с ней и геометрическая прогрессия) исчезнут. Останется просто последовательность чисел безо всякой логики.

Вот и всё. Вот и весь смысл геометрической прогрессии.

Термины и обозначения.

А вот теперь, разобравшись со смыслом и ключевыми моментами геометрической прогрессии, можно и к теории переходить. А иначе какая же теория без понимания смысла, правда?

Как обозначать геометрическую прогрессию?

Как записывается геометрическая прогрессия в общем виде ? Никаких проблем! Каждый член прогрессии также записывается в виде буквы. Только для арифметической прогрессии, обычно, используется буква "а" , для геометрической – буковка "b". Номер члена , как обычно, указывается индексом справа внизу . Сами члены прогрессии просто перечисляем через запятую или точку с запятой.

Вот так:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Коротко такую прогрессию записывают вот так: ( b n ) .

Или вот так, для конечных прогрессий:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

b 1 , b 2 , …, b 29 , b 30 .

Или, в краткой записи :

( b n ), n =30 .

Вот, собственно, и все обозначения. Всё то же самое, только буква другая, да.) А теперь переходим непосредственно к определению.

Определение геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий член равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же ненулевое число.

Вот и всё определение. Большинство слов и фраз вам понятны и хорошо знакомы. Если, конечно, понимаете смысл геометрической прогрессии "на пальцах" и вообще. Но есть и несколько новых фраз, на которые я хотел бы обратить особое внимание.

Во-первых, слова: "первый член которой отличен от нуля ".

Это ограничение на первый член введено не случайно. Как вы думаете, что произойдёт, если первый член b 1 окажется равным нулю? Чему будет равен второй член, если каждый член больше предыдущего в одно и то же число раз? Допустим, в три раза? Посмотрим… Умножаем первый член (т.е. 0) на 3 и получаем… ноль! А третий член? Тоже ноль! И четвёртый член – тоже ноль! И так далее…

Получаем просто мешок баранок последовательность нулей:

0, 0, 0, 0, …

Конечно, такая последовательность имеет право на жизнь, но никакого практического интереса она не представляет. Всё и так понятно. Любой её член – ноль. Сумма любого количества членов – тоже ноль… Что с ней интересного можно делать? Ничего…

Следующие ключевые слова: "умноженному на одно и то же ненулевое число".

Это самое число тоже носит своё специальное название – знаменатель геометрической прогрессии . Начинаем знакомство.)

Знаменатель геометрической прогрессии.

Всё проще простого.

Знаменатель геометрической прогрессии – это ненулевое число (или величина), показывающее, во сколько раз каждый член прогрессии больше предыдущего.

Опять же, по аналогии с арифметической прогрессией, ключевым словом, на которое следует обратить внимание в этом определении, является слово "больше" . Оно означает, что каждый член геометрической прогрессии получается умножением на этот самый знаменатель предыдущего члена.

Поясняю.

Для расчёта, скажем, второго члена, надо взять первый член и умножить его на знаменатель. Для расчёта десятого члена, надо взять девятый член и умножить его на знаменатель.

Сам знаменатель геометрической прогрессии может при этом быть каким угодно. Совершенно любым! Целым, дробным, положительным, отрицательным, иррациональным – всяким. Кроме нуля. Об этом и говорит нам слово "ненулевое" в определении. Зачем это слово тут нужно – об этом далее.

Знаменатель геометрической прогрессии обозначается, чаще всего, буковкой q .

Как найти это самое q ? Не вопрос! Надо взять любой член прогрессии и поделить на предыдущий член . Деление – это дробь . Отсюда и название - "знаменатель прогрессии". Знаменатель, он обычно в дроби сидит, да…) Хотя, по логике, величину q следовало бы называть частным геометрической прогрессии, по аналогии с разностью для прогрессии арифметической. Но договорились называть знаменателем . И мы тоже не будем изобретать велосипед.)

Определим, например, величину q для такой геометрической прогрессии:

2, 6, 18, 54, …

Всё элементарно. Берём любое число последовательности. Какое хотим, такое и берём. Кроме самого первого. Например, 18. И делим на предыдущее число . То есть, на 6.

Получаем:

q = 18/6 = 3

Вот и всё. Это верный ответ. Для данной геометрической прогрессии знаменатель равен трём.

Найдём теперь знаменатель q для другой геометрической прогрессии. Например, вот такой:

1, -2, 4, -8, 16, …

Всё то же самое. Какие бы знаки ни были у самих членов, всё равно берём любое число последовательности (например, 16) и делим на предыдущее число (т.е. -8).

Получим:

d = 16/(-8) = -2

И все дела.) В этот раз знаменатель прогрессии оказался отрицательным. Минус два. Бывает.)

Возьмём теперь вот такую прогрессию:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

И снова, вне зависимости от вида чисел, стоящих в последовательности (хоть целые, хоть дробные, хоть отрицательные, хоть иррациональные), берём любое число (например, 1/9) и делим на предыдущее число (1/3). По правилам действий с дробями, естественно.

Получим:

И всё.) Здесь знаменатель оказался дробным: q = 1/3.

А вот такая "прогрессия" как вам?

3, 3, 3, 3, 3, …

Очевидно, здесь q = 1 . Формально это тоже геометрическая прогрессия, только с одинаковыми членами .) Но такие прогрессии для изучения и практического применения не интересны. Так же, как и прогрессии со сплошными нулями. Поэтому мы их рассматривать и не будем.

Как вы видите, знаменатель прогрессии может быть каким угодно – целым, дробным, положительным, отрицательным – всяким! Не может быть только нулём. Не догадались, почему?

Ну, давайте на каком-нибудь конкретном примере посмотрим, что будет, если взять в качестве знаменателя q нолик.) Пусть у нас, допустим, будет b 1 = 2 , а q = 0 . Чему тогда будет равен второй член?

Считаем:

b 2 = b 1 · q = 2·0 = 0

А третий член?

b 3 = b 2 · q = 0·0 = 0

Виды и поведение геометрических прогрессий.

С всё было более-менее ясно: если разность прогрессии d положительна, то прогрессия возрастает. Если же разность отрицательна, то прогрессия убывает. Всего два варианта. Третьего не дано.)

А вот с поведением геометрической прогрессии всё будет уже гораздо интереснее и разнообразнее!)

Как только себя тут члены ни ведут: и возрастают, и убывают, и неограниченно приближаются к нулю, и даже меняют знаки, попеременно бросаясь то в "плюс", то в "минус"! И во всём этом многообразии надо уметь хорошо разбираться, да…

Разбираемся?) Начинаем с самого простого случая.

Знаменатель положительный ( q >0)

При положительном знаменателе, во-первых, члены геометрической прогрессии могут уходить в плюс бесконечность (т.е. неограниченно возрастать) и могут уходить в минус бесконечность (т.е. неограниченно убывать). К такому поведению прогрессий мы уже попривыкли.

Например:

( b n ): 1, 2, 4, 8, 16, …

Здесь всё просто. Каждый член прогрессии получается больше предыдущего . Причём каждый член получается умножением предыдущего члена на положительное число +2 (т.е. q = 2 ). Поведение такой прогрессии очевидно: все члены прогрессии неограниченно растут, уходя в космос. В плюс бесконечность…

А теперь вот такая прогрессия:

( b n ): -1, -2, -4, -8, -16, …

Здесь тоже каждый член прогрессии получается умножением предыдущего члена на положительное число +2. А вот поведение такой прогрессии уже прямо противоположное: каждый член прогрессии получается меньше предыдущего , и все её члены неограниченно убывают, уходя в минус бесконечность.

А теперь давайте подумаем: что общего у этих двух прогрессий? Правильно, знаменатель! И там и там q = +2 . Положительное число. Двойка. А вот поведение этих двух прогрессий – принципиально разное! Не догадались, почему? Да! Всё дело в первом члене! Именно он, как говорится, и заказывает музыку.) Смотрите сами.

В первом случае первый член прогрессии положительный (+1) и, стало быть, все последующие члены, получаемые умножением на положительный знаменатель q = +2 , также будут положительными.

А вот во втором случае первый член отрицательный (-1). Поэтому и все последующие члены прогрессии, получаемые умножением на положительное q = +2 , также будут получаться отрицательными. Ибо "минус" на "плюс" всегда даёт "минус", да.)

Как вы видите, в отличие от арифметической прогрессии, геометрическая прогрессия может вести себя совершенно по-разному не только в зависимости от знаменателя q , но ещё и в зависимости от первого члена , да.)

Запоминаем: поведение геометрической прогрессии однозначно определяется её первым членом b 1 и знаменателем q .

А теперь начинаем разбор менее привычных, но зато гораздо более интересных случаев!

Возьмём, например, вот такую последовательность:

( b n ): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Эта последовательность – тоже геометрическая прогрессия! Каждый член этой прогрессии тоже получается умножением предыдущего члена, на одно и то же число. Только число это – дробное: q = +1/2 . Или +0,5 . Причём (важно!) число, меньшее единички: q = 1/2<1.

Чем интересна эта геометрическая прогрессия? Куда стремятся её члены? Давайте посмотрим:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Что интересного здесь можно заметить? Во-первых, сразу бросается в глаза убывание членов прогрессии: каждый её член меньше предыдущего ровно в 2 раза. Или, в соответствии с определением геометрической прогрессии, каждый член больше предыдущего в 1/2 раза , т.к. знаменатель прогрессии q = 1/2 . А от умножения на положительное число, меньшее единички, результат обычно уменьшается, да…

Что ещё можно заметить в поведении этой прогрессии? Убывают ли её члены неограниченно , уходя в минус бесконечность? Нет! Они убывают по-особенному. Сначала довольно быстро убывают, а потом всё медленнее и медленнее. Причём всё время оставаясь положительными . Пускай и очень-очень маленькими. А к чему же они сами при этом стремятся? Не догадались? Да! К нулю они стремятся!) Причём, обратите внимание, самого нуля члены нашей прогрессии никогда не достигают! Только лишь бесконечно близко к нему приближаются . Это очень важно.)

Похожая ситуация будет и в такой прогрессии:

( b n ): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Здесь b 1 = -1 , а q = 1/2 . Всё то же самое, только к нулю теперь члены будут приближаться уже с другой стороны, снизу. Всё время оставаясь отрицательными .)

Такая геометрическая прогрессия, члены которой неограниченно приближаются к нулю (неважно, с положительной или с отрицательной стороны), в математике носит особое название – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Прогрессия эта настолько интересная и необычная, что о ней даже будет отдельный урок .)

Итак, мы рассмотрели все возможные положительные знаменатели – и большие единички и меньшие единички. Саму единичку в качестве знаменателя мы не рассматриваем по причинам, изложенным выше (вспомните пример с последовательностью троек…)

Подытожим:

положителен и больше единицы ( q >1), то члены прогрессии:

a ) неограниченно возрастают (если b 1 >0);

б) неограниченно убывают (если b 1 <0).

Если знаменатель геометрической прогрессии положителен и меньше единицы (0< q <1), то члены прогрессии:

а) бесконечно близко приближаются к нулю сверху (если b 1 >0);

б) бесконечно близко приближаются к нулю снизу (если b 1 <0).

Осталось теперь рассмотреть случай отрицательного знаменателя.

Знаменатель отрицательный ( q <0)

За примером далеко ходить не будем. Чего, собственно, лохматить бабушку?!) Пусть, например, первый член прогрессии будет b 1 = 1 , а знаменатель возьмём q = -2 .

Получим вот такую последовательность:

( b n ): 1, -2, 4, -8, 16, …

И так далее.) Каждый член прогрессии получается умножением предыдущего члена на отрицательное число -2. При этом все члены, стоящие на нечётных местах (первый, третий, пятый и т.д.) будут положительными , а на чётных местах (второй, четвёртый и т.д.) – отрицательными. Знаки строго чередуются. Плюс-минус-плюс-минус… Такая геометрическая прогрессия так и называется – возрастающей знакочередующейся.

Куда же стремятся её члены? А никуда.) Да, по абсолютной величине (т.е. по модулю) члены нашей прогрессии неограниченно возрастают (отсюда и название "возрастающая"). Но при этом каждый член прогрессии поочерёдно бросает то в жар, то в холод. То в "плюс", то в "минус". Колеблется наша прогрессия… Причём размах колебаний с каждым шагом стремительно растёт, да.) Стало быть, стремления членов прогрессии куда-то конкретно здесь нет. Ни к плюс бесконечности, ни к минус бесконечности, ни к нулю – никуда.

Рассмотрим теперь какой-нибудь дробный знаменатель между нулём и минус единичкой.

Например, пусть будет b 1 = 1 , а q = -1/2 .

Тогда получим прогрессию:

( b n ): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

И снова имеем чередование знаков! Но, в отличие от предыдущего примера, здесь уже прослеживается чёткая тенденция приближения членов к нулю.) Только в этот раз наши члены приближаются к нулю не строго сверху или снизу, а снова колеблясь . Попеременно принимая то положительные, то отрицательные значения. Но при этом их модули становятся всё ближе и ближе к заветному нолику.)

Такая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей знакочередующейся.

Чем интересны эти два примера? А тем, что в обоих случаях имеет место чередование знаков! Такая фишка характерна только для прогрессий с отрицательным знаменателем, да.) Стало быть, если в каком-то задании вы увидите геометрическую прогрессию со знакочередующимися членами, то уже твёрдо будете знать, что её знаменатель на 100% отрицательный и не ошибётесь в знаке.)

Кстати, в случае отрицательного знаменателя знак первого члена совершенно не влияет на поведение самой прогрессии. С каким бы знаком первый член прогрессии ни был, в любом случае будет наблюдаться знакочередование членов. Весь вопрос лишь в том, на каких местах (чётные или нечётные) будут стоять члены с конкретными знаками.

Запоминаем:

Если знаменатель геометрической прогрессии отрицательный , то знаки членов прогрессии всегда чередуются.

При этом сами члены:

а) неограниченно возрастают по модулю , если q <-1;

б) бесконечно приближаются к нулю, если -1< q <0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Вот и всё. Все типовые случаи разобраны.)

В процессе разбора самых разных примеров геометрических прогрессий, я периодически употреблял слова: "стремится к нулю" , "стремится к плюс бесконечности" , "стремится к минус бесконечности" … Ничего страшного.) Эти речевые обороты (и конкретные примеры) – всего лишь начальное знакомство с поведением самых разных числовых последовательностей. На примере геометрической прогрессии.

Зачем нам вообще нужно знать поведение прогрессии? Какая разница, куда она там стремится? К нулю ли, к плюс бесконечности, к минус бесконечности… Нам-то что от этого?

Дело всё в том, что уже в ВУЗе, в курсе высшей математики, вам понадобится умение работать с самыми разными числовыми последовательностями (с любыми, а не только прогрессиями!) и умение представлять, как именно себя ведёт та или иная последовательность – возрастает ли она неограниченно, убывает ли, стремится ли к конкретному числу (причём не обязательно к нулю) или даже вообще ни к чему не стремится… Этой теме в курсе матанализа посвящён целый раздел – теория пределов. А чуть конкретнее – понятие предела числовой последовательности. Очень интересная тема! Имеет смысл поступить в институт и разобраться.)

Некоторые примеры из этого раздела (последовательности, имеющие предел) и в частности, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия начинают осваиваться ещё в школе. Привыкаем.)

Более того, умение хорошо исследовать поведение последовательностей в дальнейшем здорово сыграет на руку и очень пригодится в исследовании функций. Самых разнообразных. А вот умение грамотно работать с функциями (вычислять производные, исследовать их по полной программе, строить их графики) уже резко повышает ваш математический уровень! Сомневаетесь? Не надо. Ещё вспомните мои слова.)

Посмотрим на геометрическую прогрессию в жизни?

В окружающей нас жизни с геометрической прогрессией мы сталкиваемся очень и очень часто. Даже сами того не подозревая.)

Например, различные микроорганизмы, которые окружают нас повсюду в огромных количествах и которых мы даже не видим без микроскопа, размножаются именно в геометрической прогрессии.

Скажем, одна бактерия размножается делением пополам, давая потомство в 2 бактерии. В свою очередь, каждая из них, размножаясь, тоже делится пополам, давая общее потомство в 4 бактерии. Следующее поколение даст уже 8 бактерий, потом 16 бактерий, 32, 64 и так далее. С каждым следующим поколением число бактерий удваивается. Типичный пример геометрической прогрессии.)

Также в геометрической прогрессии размножаются и некоторые насекомые – тля, мухи. И кролики иногда, кстати, тоже.)

Другой пример геометрической прогрессии, уже ближе к обыденной жизни, - это так называемые сложные проценты. Такое интересное явление часто встречается в банковских вкладах и называется капитализацией процентов. Что это такое?

Сами вы пока что ещё, конечно, юные. В школе учитесь, в банки не обращаетесь. А вот родители ваши – люди уже взрослые и самостоятельные. На работу ходят, денежки на хлеб насущный зарабатывают, а часть денег кладут в банк, делая сбережения.)

Скажем, ваш папа хочет поднакопить определённую денежную сумму на семейный отдых в Турции и положил в банк 50000 рублей под 10% годовых сроком на три года с ежегодной капитализацией процентов. Причём в течение всего этого срока делать со вкладом ничего нельзя. Нельзя ни пополнять вклад, ни снимать деньги со счёта. Какую прибыль он получит через эти три года?

Ну, во-первых, надо разобраться, что же такое 10% годовых. Это значит, что через год к первоначальной сумме вклада банком будут начислены 10%. От чего? Конечно же, от первоначальной суммы вклада.

Считаем размер счёта через год. Если первоначальная сумма вклада составляла 50000 рублей (т.е. 100%), то через год на счету будет сколько процентов? Правильно, 110%! От 50000 рублей.

Вот и считаем 110% от 50000 рублей:

50000·1,1 = 55000 рублей.

Надеюсь, вы понимаете, что найти 110% от величины означает помножить эту величину на число 1,1? Если не понимаете, почему это именно так, вспоминайте пятый и шестой классы. А именно – связь процентов с дробями и частями.)

Таким образом, прибавка за первый год составит 5000 рублей.

А сколько денег будет на счету через два года? 60000 рублей? К сожалению (а вернее, к счастью), всё не так просто. Весь фокус капитализации процентов состоит в том, что при каждом новом начислении процентов, эти самые проценты будут считаться уже от новой суммы! От той, которая уже лежит на счету в данный момент. А начисленные за предыдущий срок проценты прибавляются к изначальной сумме вклада и, таким образом, сами участвуют в начислении новых процентов! То есть, они становятся полноправной частью общего счёта. Или общего капитала. Отсюда и название – капитализация процентов.

Это в экономике. А в математике такие проценты называются сложными процентами. Или процентами от процентов. ) Их фишка заключается в том, что при последовательном вычислении проценты каждый раз считаются от новой величины. А не от первоначальной…

Стало быть, для подсчёта суммы через два года , нам надо посчитать 110% от той суммы, которая будет на счету через год. То есть, уже от 55000 рублей.

Считаем 110% от 55000 рублей:

55000·1,1 = 60500 рублей.

Значит, процентная прибавка за второй год составит уже 5500 рублей, а за два года – 10500 рублей.

Теперь уже можно догадаться, что через три года сумма на счету будет составлять 110% от 60500 рублей. То есть снова 110% от предыдущей (прошлогодней) суммы.

Вот и считаем:

60500·1,1 = 66550 рублей.

А теперь выстраиваем наши денежные суммы по годам в последовательность:

50000;

55000 = 50000·1,1;

60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;

66550 = 60500·1,1 = ((50000·1,1)·1,1)·1,1

Ну и как? Чем не геометрическая прогрессия? Первый член b 1 = 50000 , а знаменатель q = 1,1 . Каждый член больше предыдущего строго в 1,1 раза. Всё в строгом соответствии с определением.)

И сколько же дополнительных процентных бонусов "накапает" вашему папе, пока его 50000 рублей три года лежали на банковском счету?

Считаем:

66550 – 50000 = 16550 рублей

Негусто, конечно. Но это если изначальная сумма вклада – маленькая. А если побольше? Скажем, не 50, а 200 тысяч рублей? Тогда прибавка за три года составит уже 66200 рублей (если посчитать). Что уже очень неплохо.) А если вклад ещё больше? Вот то-то и оно…

Вывод: чем выше изначальный вклад, тем выгоднее становится капитализация процентов. Именно поэтому вклады с капитализацией процентов предоставляются банками на длительные сроки. Скажем, на пять лет.

Также в геометрической прогрессии любят распространяться всякие нехорошие болезни типа гриппа, кори и даже более страшных заболеваний (той же атипичной пневмонии в начале 2000-х или чумы в Средневековье). Отсюда и такие масштабы эпидемий, да…) А всё из-за того, что геометрическая прогрессия с целым положительным знаменателем ( q >1) – штука, возрастающая очень быстро! Вспомните размножение бактерий: из одной бактерии получаются две, из двух – четыре, из четырёх – восемь и так далее… С распространением всякой заразы всё то же самое.)

Простейшие задачи по геометрической прогрессии.

Начнём, как всегда, с несложной задачки. Чисто на понимание смысла.

1. Известно, что второй член геометрической прогрессии равен 6, а знаменатель равен -0,5. Найдите первый, третий и четвёртый её члены.

Итак, нам дана бесконечная геометрическая прогрессия, а известен второй член этой прогрессии:

b 2 = 6

Кроме того, нам ещё известен знаменатель прогрессии :

q = -0,5

А найти нужно первый, третий и четвёртый члены этой прогрессии.

Вот и действуем. Записываем последовательность по условию задачки. Прямо в общем виде, где второй член – шестёрка:

b 1 , 6, b 3 , b 4 , …

А теперь приступаем к поискам. Начинаем, как всегда, с самого простого. Можно посчитать, например, третий член b 3 ? Можно! Мы же с вами уже знаем (прямо по смыслу геометрической прогрессии), что третий член (b 3) больше второго ( b 2 ) в "q" раз!

Так и пишем:

b 3 = b 2 · q

Подставляем в это выражение шестёрку вместо b 2 и -0,5 вместо q и считаем. И минус тоже не игнорируем, разумеется…

b 3 = 6·(-0,5) = -3

Вот так. Третий член оказался с минусом. Неудивительно: наш знаменатель q – отрицательный. А плюс помножить на минус, будет, знамо дело, минус.)

Считаем теперь следующий, четвёртый член прогрессии:

b 4 = b 3 · q

b 4 = -3·(-0,5) = 1,5

Четвёртый член – снова с плюсом. Пятый член будет опять с минусом, шестой – с плюсом и так далее. Знаки – чередуются!

Так, третий и четвёртый члены нашли. Получилась вот такая последовательность:

b 1 ; 6; -3; 1,5; …

Осталось теперь найти первый член b 1 по известному второму. Для этого шагаем уже в другую сторону, влево. Это значит, что в данном случае второй член прогрессии нам надо не помножить на знаменатель, а поделить.

Делим и получаем:

Вот и всё.) Ответ к задачке будет такой:

-12; 6; -3; 1,5; …

Как вы видите, принцип решения тот же самый, что и в . Знаем любой член и знаменатель геометрической прогрессии – можем найти и любой другой её член. Какой хотим, такой и отыщем.) С той лишь разницей, что сложение/вычитание заменяется на умножение/деление.

Запоминаем: если нам известен хотя бы один член и знаменатель геометрической прогрессии, то мы всегда можем найти любой другой член этой прогрессии.

Следующая задачка, по традиции, из реального варианта ОГЭ:

2.

…; 150; х; 6; 1,2; …

Ну и как? В этот раз ни первого члена нет, ни знаменателя q , задана просто последовательность чисел... Что-то знакомое уже, правда? Да! Похожая задачка уже разбиралась в по арифметической прогрессии!

Вот и не пугаемся. Всё то же самое. Включаем голову и вспоминаем элементарный смысл геометрической прогрессии. Смотрим внимательно на нашу последовательность и соображаем, какие параметры геометрической прогрессии из трёх главных (первый член, знаменатель, номер члена) в ней спрятаны.

Номера членов? Номеров членов нету, да… Но зато есть четыре последовательных числа. Что означает это слово, объяснять на данном этапе смысла не вижу.) Есть ли в этой последовательности два соседних известных числа? Есть! Это 6 и 1,2. Значит, мы можем найти знаменатель прогрессии. Вот и берём число 1,2 и делим на предыдущее число. На шестёрку.

Получаем:

Получим:

x = 150·0,2 = 30

Ответ: x = 30 .

Как вы видите, всё довольно просто. Основная трудность состоит лишь в вычислениях. Особенно тяжко бывает в случае отрицательных и дробных знаменателей. Так что те, у кого проблемы, повторите арифметику! Как работать с дробями, как работать с отрицательными числами и так далее… Иначе здесь будете тормозить нещадно.

А теперь немного видоизменим задачку. Сейчас интересно станет! Уберём в ней последнее число 1,2. Вот такую задачку теперь решим:

3. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

…; 150; х; 6; …

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

Всё то же самое, только двух соседних известных членов прогрессии у нас теперь не стало. В этом и состоит основная проблема. Потому, что величину q через два соседних члена мы так просто определить уже не сможем. Есть у нас шанс справиться с задачей? Конечно!

Распишем неизвестный член " x " прямо по смыслу геометрической прогрессии! В общем виде.

Да-да! Прямо с неизвестным знаменателем!

С одной стороны, для икса мы можем записать вот такое соотношение:

x = 150· q

С другой стороны, этот же самый икс мы имеем полное право расписать и через следующий член, через шестёрку! Поделив шестёрку на знаменатель.

Вот так:

x = 6/ q

Очевидно, теперь можно приравнять оба этих соотношения. Раз уж мы выражаем одну и ту же величину (икс), но двумя разными способами.

Получим уравнение:

Умножая всё на q , упрощая, сокращая, получим уравнение:

q 2 = 1/25

Решаем и получаем:

q = ±1/5 = ±0,2

Опаньки! Знаменатель-то двойной получился! +0,2 и -0,2. И какой из них выбрать? Тупик?

Спокойствие! Да, задачка действительно имеет два решения! Ничего страшного в этом нет. Бывает.) Вы же не удивляетесь, когда, например, получаете два корня, решая обычное ? Вот и здесь та же история.)

Для q = +0,2 мы получим:

X = 150·0,2 = 30

А для q = -0,2 будет:

X = 150·(-0,2) = -30

Получаем двойной ответ: x = 30; x = -30.

Что означает этот интересный факт? А то, что существует две прогрессии , удовлетворяющие условию задачи!

Вот такие:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Обе – подходят.) Как вы думаете, из-за чего у нас произошло раздвоение ответов? Как раз из-за ликвидации конкретного члена прогрессии (1,2), идущего после шестёрки. А зная только предыдущий (n-1)-й и последующий (n+1)-й члены геометрической прогрессии, мы уже ничего не можем однозначно сказать про n-й член, стоящий между ними. Возможны два варианта – с плюсом и с минусом.

Но не беда. Как правило, в заданиях на геометрическую прогрессию имеется дополнительная информация, дающая однозначный ответ. Скажем, слова: "знакочередующаяся прогрессия" или "прогрессия с положительным знаменателем" и так далее… Именно эти слова и должны служить зацепкой, какой знак, плюс или минус, следует выбрать при оформлении окончательного ответа. Если же такой информации нет, то тогда – да, задача будет иметь два решения. )

А теперь решаем самостоятельно.

4. Определите, будет ли число 20 членом геометрической прогрессии:

4 ; 6; 9; …

5. Задана знакочередующаяся геометрическая прогрессия:

…; 5; x ; 45; …

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

6. Найдите четвёртый положительный член геометрической прогрессии:

625; -250; 100; …

7. Второй член геометрической прогрессии равен -360, а пятый её член равен 23,04. Найдите первый член этой прогрессии.

Ответы (в беспорядке): -15; 900; нет; 2,56.

Поздравляю, если всё получилось!

Что-то не стыкуется? Где-то ответ двойной получился? Читаем внимательно условие задания!

Последняя задачка не выходит? Там ничего сложного.) Работаем прямо по смыслу геометрической прогрессии. Ну и картинку можно нарисовать. Это помогает.)

Как вы видите, всё элементарно. Если прогрессия – коротенькая. А если длинная? Или номер нужного члена очень большой? Хотелось бы, по аналогии с арифметической прогрессией, как-то получить удобную формулу, позволяющую легко находить любой член любой геометрической прогрессии по его номеру. Не помножая много-много раз на q . И такая формула есть!) Подробности – в следующем уроке.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Теоретические сведения

Теоретические сведения

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Определение

Арифметической прогрессией a n называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом d ( d - разность прогрессий)

Геометрической прогрессией b n называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и тоже число q ( q - знаменатель прогрессии)

Рекуррентная формула

Для любого натурального n
a n + 1 = a n + d

Для любого натурального n
b n + 1 = b n ∙ q, b n ≠ 0

Формула n-ого члена

a n = a 1 + d ( n – 1)

b n = b 1 ∙ q n - 1 , b n ≠ 0

Характеристическое свойство
Сумма n-первых членов

Примеры заданий с комментариями

Задание 1

В арифметической прогрессии ( a n ) a 1 = -6, a 2

По формуле n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 - 1) = a 1 + 21 d

По условию:

a 1 = -6, значит a 22 = -6 + 21 d .

Необходимо найти разность прогрессий:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = - 48.

Ответ : a 22 = -48.

Задание 2

Найдите пятый член геометрической прогрессии: -3; 6;....

1-й способ (с помощью формулы n -члена)

По формуле n-ого члена геометрической прогрессии:

b 5 = b 1 ∙ q 5 - 1 = b 1 ∙ q 4 .

Так как b 1 = -3,

2-й способ (с помощью рекуррентной формулы)

Так как знаменатель прогрессии равен -2 (q = -2), то:

b 3 = 6 ∙ (-2) = -12;

b 4 = -12 ∙ (-2) = 24;

b 5 = 24 ∙ (-2) = -48.

Ответ : b 5 = -48.

Задание 3

В арифметической прогрессии ( a n ) a 74 = 34; a 76 = 156. Найдите семьдесят пятый член этой прогрессии.

Для арифметической прогрессии характеристическое свойство имеет вид .

Из этого следует:

.

Подставим данные в формулу:

Ответ : 95.

Задание 4

В арифметической прогрессии ( a n ) a n = 3n - 4. Найдите сумму семнадцати первых членов.

Для нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии используют две формулы:

.

Какую из них в данном случае удобнее применять?

По условию известна формула n-ого члена исходной прогрессии ( a n ) a n = 3n - 4. Можно найти сразу и a 1 , и a 16 без нахождения d . Поэтому воспользуемся первой формулой.

Ответ : 368.

Задание 5

В арифметической прогрессии( a n ) a 1 = -6; a 2 = -8. Найдите двадцать второй член прогрессии.

По формуле n-ого члена:

a 22 = a 1 + d (22 – 1) = a 1 + 21d .

По условию, если a 1 = -6, то a 22 = -6 + 21d . Необходимо найти разность прогрессий:

d = a 2 – a 1 = -8 – (-6) = -2

a 22 = -6 + 21 ∙ (-2) = -48.

Ответ : a 22 = -48.

Задание 6

Записаны несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

При решении воспользуемся формулой n-го члена b n = b 1 ∙ q n - 1 для геометрических прогрессий. Первый член прогрессии. Чтобы найти знаменатель прогрессии q необходимо взять любой из данных членов прогрессии и разделить на предыдущий. В нашем примере можно взять и разделить на. Получим, что q = 3. Вместо n в формулу подставим 3, так как необходимо найти третий член, заданной геометрической прогрессии.

Подставив найденные значения в формулу, получим:

.

Ответ : .

Задание 7

Из арифметических прогрессий, заданных формулой n-го члена, выберите ту, для которой выполняется условие a 27 > 9:

Так как заданное условие должно выполняться для 27-го члена прогрессии, подставим 27 вместо n в каждую из четырех прогрессий. В 4-й прогрессии получим:

.

Ответ : 4.

Задание 8

В арифметической прогрессии a 1 = 3, d = -1,5. Укажите наибольшее значение n , для которого выполняется неравенство a n > -6.

Рассмотрим некоторый ряд.

7 28 112 448 1792...

Совершенно ясно видно, что значение любого его элемента больше предыдущего ровно в четыре раза. Значит, данный ряд является прогрессией.

Геометрической прогрессиейименуется бесконечная последовательность чисел, главной особенностью которой является то, что следующее число получается из предыдущего посредством умножения на какое-то определенное число. Это выражается следующей формулой.

a z +1 =a z ·q, где z - номер выбранного элемента.

Соответственно, z ∈ N.

Период, когда в школе изучается геометрическая прогрессия - 9 класс. Примеры помогут разобраться в понятии:

0.25 0.125 0.0625...

Исходя из этой формулы, знаменатель прогрессии возможно найти следующим образом:

Ни q, ни b z не могут равняться нулю. Так же каждый из элементов прогрессии не должен равняться нулю.

Соответственно, чтобы узнать следующее число ряда, нужно умножить последнее на q.

Чтобы задать данную прогрессию, необходимо указать первый ее элемент и знаменатель. После этого возможно нахождение любого из последующих членов и их суммы.

Разновидности

В зависимости от q и a 1, данная прогрессия разделяется на несколько видов:

  • Если и a 1 , и q больше единицы, то такая последовательность - возрастающая с каждым следующим элементом геометрическая прогрессия. Пример таковой представлен далее.

Пример: a 1 =3, q=2 - оба параметра больше единицы.

Тогда числовая последовательность может быть записана так:

3 6 12 24 48 ...

  • Если |q| меньше единицы, то есть, умножение на него эквивалентно делению, то прогрессия с подобными условиями - убывающая геометрическая прогрессия. Пример таковой представлен далее.

Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 больше единицы, q - меньше.

Тогда числовую последовательность можно записать таким образом:

6 2 2/3 ... - любой элемент больше элемента, следующего за ним, в 3 раза.

  • Знакопеременная. Если q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Пример: a 1 = -3 , q = -2 - оба параметра меньше нуля.

Тогда числовую последовательность можно записать так:

3, 6, -12, 24,...

Формулы

Для удобного использования геометрических прогрессий существует множество формул:

  • Формула z-го члена. Позволяет рассчитать элемент, стоящий под конкретным номером без расчета предыдущих чисел.

Пример: q = 3, a 1 = 4. Требуется посчитать четвертый элемент прогрессии.

Решение: a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

  • Сумма первых элементов, чье количество равно z . Позволяет рассчитать сумму всех элементов последовательности до a z включительно.

Так как (1- q ) стоит в знаменателе, то (1 - q) ≠ 0, следовательно, q не равно 1.

Замечание: если бы q=1, то прогрессия представляла бы собой ряд из бесконечно повторяющегося числа.

Сумма геометрической прогрессии, примеры: a 1 = 2, q = -2. Посчитать S 5 .

Решение: S 5 = 22 - расчет по формуле.

  • Сумма, если | q | < 1 и если z стремится к бесконечности.

Пример: a 1 = 2 , q = 0.5. Найти сумму.

Решение: S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Некоторые свойства:

  • Характеристическое свойство. Если следующее условие выполняется для любого z , то заданный числовой ряд - геометрическая прогрессия:

a z 2 = a z -1 · a z+1

  • Так же квадрат любого числа геометрической прогрессии находится при помощи сложения квадратов двух других любых чисел в заданном ряду, если они равноудалены от этого элемента.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , где t - расстояние между этими числами.

  • Элементы различаются в q раз.
  • Логарифмы элементов прогрессии так же образуют прогрессию, но уже арифметическую, то есть каждый из них больше предыдущего на определенное число.

Примеры некоторых классических задач

Чтобы лучше понять, что такое геометрическая прогрессия, примеры с решением для 9 класса могут помочь.

  • Условия: a 1 = 3, a 3 = 48. Найти q .

Решение: каждый последующий элемент больше предыдущего в q раз. Необходимо выразить одни элементы через другие с помощью знаменателя.

Следовательно, a 3 = q 2 · a 1

При подстановке q = 4

  • Условия: a 2 = 6, a 3 = 12. Рассчитать S 6 .

Решение: Для этого достаточно найти q, первый элемент и подставить в формулу.

a 3 = q · a 2 , следовательно, q = 2

a 2 = q · a 1 , поэтому a 1 = 3

S 6 = 189

  • · a 1 = 10, q = -2. Найти четвертый элемент прогрессии.

Решение: для этого достаточно выразить четвертый элемент через первый и через знаменатель.

a 4 = q 3 · a 1 = -80

Пример применения:

  • Клиент банка совершил вклад на сумму 10000 рублей, по условиям которого каждый год клиенту к основной сумме будут прибавляться 6% от нее же. Сколько средств будет на счету через 4 года?

Решение: Изначальная сумма равна 10 тысячам рублей. Значит, через год после вложения на счету будет сумма, равная 10000 + 10000 · 0.06 = 10000 · 1.06

Соответственно, сумма на счете еще через один год будет выражаться следующим образом:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

То есть с каждым годом сумма увеличивается в 1.06 раз. Значит, чтобы найти количество средств на счете через 4 года, достаточно найти четвертый элемент прогрессии, которая задана первым элементом, равным 10 тысячам, и знаменателем, равным 1.06.

S = 1.06·1.06·1.06·1.06·10000 = 12625

Примеры задач на вычисление суммы:

В различных задачах используется геометрическая прогрессия. Пример на нахождение суммы может быть задан следующим образом:

a 1 = 4, q = 2, рассчитать S 5 .

Решение: все необходимые для расчета данные известны, нужно просто подставить их в формулу.

S 5 = 124

  • a 2 = 6, a 3 = 18. Рассчитать сумму первых шести элементов.

Решение:

В геом. прогрессии каждый следующий элемент больше предыдущего в q раз, то есть для вычисления суммы необходимо знать элемент a 1 и знаменатель q .

a 2 · q = a 3

q = 3

Аналогичным образом требуется найти a 1 , зная a 2 и q .

a 1 · q = a 2

a 1 = 2

S 6 = 728.

Математика – это то, посредством чего люди управляют природой и собой.

Советский математик, академик А.Н. Колмогоров

Геометрическая прогрессия.

Наряду с задачами на арифметические прогрессии также распространенными на вступительных испытаниях по математике являются задачи, связанные с понятием геометрической прогрессии. Для успешного решения таких задач необходимо знать свойства геометрической прогрессии и иметь хорошие навыки их использования.

Настоящая статья посвящена изложению основных свойств геометрической прогрессии. Здесь также приводятся примеры решения типовых задач , позаимствованных из заданий вступительных испытаний по математике.

Предварительно отметим основные свойства геометрической прогрессии и напомним наиболее важные формулы и утверждения , связанные с этим понятием.

Определение. Числовая последовательность называется геометрической прогрессией, если каждое ее число, начиная со второго, равно предыдущему, умноженному на одно и то же число . Число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Для геометрической прогрессии справедливы формулы

, (1)

где . Формула (1) называется формулой общего члена геометрической прогрессии, а формула (2) представляет собой основное свойство геометрической прогрессии: каждый член прогрессии совпадает со средним геометрическим своих соседних членов и .

Отметим , что именно из-за этого свойства рассматриваемая прогрессия называется «геометрической».

Приведенные выше формулы (1) и (2) обобщаются следующим образом:

, (3)

Для вычисления суммы первых членов геометрической прогрессии применяется формула

Если обозначить , то

где . Так как , то формула (6) является обобщением формулы (5).

В том случае , когда и , геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей. Для вычисления суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии используется формула

. (7)

Например , с помощью формулы (7) можно показать , что

где . Данные равенства получены из формулы (7) при условии, что , (первое равенство) и , (второе равенство).

Теорема. Если , то

Доказательство. Если , то ,

Теорема доказана.

Перейдем к рассмотрению примеров решения задач на тему «Геометрическая прогрессия».

Пример 1. Дано: , и . Найти .

Решение. Если применить формулу (5), то

Ответ: .

Пример 2. Пусть и . Найти .

Решение. Так как и , то воспользуемся формулами (5), (6) и получим систему уравнений

Если второе уравнение системы (9) разделить на первое , то или . Отсюда следует и . Рассмотрим два случая.

1. Если , то из первого уравнения системы (9) имеем .

2. Если , то .

Пример 3. Пусть , и . Найти .

Решение. Из формулы (2) следует, что или . Так как , то или .

По условию . Однако , поэтому . Поскольку и , то здесь имеем систему уравнений

Если второе уравнение системы разделить на первое, то или .

Так как , то уравнение имеет единственный подходящий корень . В таком случае из первого уравнения системы вытекает .

Принимая во внимание формулу (7), получаем.

Ответ: .

Пример 4. Дано: и . Найти .

Решение. Так как , то .

Поскольку , то или

Согласно формуле (2) имеем . В этой связи из равенства (10) получаем или .

Однако по условию , поэтому .

Пример 5. Известно, что . Найти .

Решение. Согласно теореме имеем два равенства

Так как , то или . Поскольку , то .

Ответ: .

Пример 6. Дано: и . Найти .

Решение. Принимая во внимание формулу (5), получаем

Так как , то . Поскольку , и , то .

Пример 7. Пусть и . Найти .

Решение. Согласно формуле (1) можно записать

Следовательно, имеем или . Известно, что и , поэтому и .

Ответ: .

Пример 8. Найти знаменатель бесконечной убывающей геометрической прогрессии , если

и .

Решение. Из формулы (7) следует и . Отсюда и из условия задачи получаем систему уравнений

Если первое уравнение системы возвести в квадрат , а затем полученное уравнение разделить на второе уравнение , то получим

Или .

Ответ: .

Пример 9. Найти все значения , при которых последовательность , , является геометрической прогрессией.

Решение. Пусть , и . Согласно формуле (2), которая задает основное свойство геометрической прогрессии, можно записать или .

Отсюда получаем квадратное уравнение , корнями которого являются и .

Выполним проверку: если , то , и ; если , то , и .

В первом случае имеем и , а во втором – и .

Ответ: , .

Пример 10. Решить уравнение

, (11)

где и .

Решение. Левая часть уравнения (11) представляет собой сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии, в которой и , при условии: и .

Из формулы (7) следует , что . В этой связи уравнение (11) принимает вид или . Подходящим корнем квадратного уравнения является

Ответ: .

Пример 11. П оследовательность положительных чисел образует арифметическую прогрессию , а – геометрическую прогрессию , причем здесь . Найти .

Решение. Так как арифметическая последовательность , то (основное свойство арифметической прогрессии). Поскольку , то или . Отсюда следует , что геометрическая прогрессия имеет вид . Согласно формуле (2) , далее запишем , что .

Так как и , то . В таком случае выражение принимает вид или . По условию , поэтому из уравнения получаем единственное решение рассматриваемой задачи , т.е. .

Ответ: .

Пример 12. Вычислить сумму

. (12)

Решение. Умножим на 5 обе части равенства (12) и получим

Если из полученного выражения вычесть (12) , то

или .

Для вычисления подставим в формулу (7) значения , и получим . Так как , то .

Ответ: .

Приведенные здесь примеры решения задач будут полезны абитуриентам при подготовке к вступительным испытаниям. Для более глубокого изучения методов решения задач , связанных с геометрической прогрессией , можно использовать учебные пособия из списка рекомендуемой литературы.

1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS , 2014. – 216 с.

3. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в задачах и упражнениях. Книга 2: Числовые последовательности и прогрессии. – М.: Эдитус , 2015. – 208 с.

Остались вопросы?

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

просмотров
просмотров