Мнимая ось гиперболы. Построение графика обратной зависимости (гиперболы)
Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)
Гипербола и её каноническое уравнение
Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».
Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….
У гиперболы две симметричные ветви.
Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:
Пример 4
Построить гиперболу, заданную уравнением
Решение
: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:
Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них
трёхэтажной
:
И только после этого провести сокращение:
Выделяем квадраты в знаменателях:
Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В
общем случае
такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без
трёхэтажных дробей
уже не обойтись:
Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :
Как построить гиперболу?
Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.
Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:
На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .
Парабола и её каноническое уравнение
Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться:
Пример 6
Построить параболу
Решение
: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение
определяет верхнюю дугу параболы, уравнение – нижнюю дугу.
В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :
Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.
Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое
определение параболы:
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку .
Точка называется
фокусом
параболы, прямая –
директрисой
(пишется с одной «эс»)
параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется
фокальным параметром
, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением .
В нашем примере :
Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки параболы длина отрезка (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра (расстоянию от точки до директрисы):
Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.
Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси
Эксцентриситет любой параболы равен единице:
Поворот и параллельный перенос параболы
Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.
! Примечание : как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.
Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости у абсолютная величина разности расстояний каждой из которых от двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами у есть постоянная величина, при условии, что эта величина не равна нулю и меньше расстояния между фокусами.
Обозначим расстояние между фокусами через а постоянную величину, равную модулю разности расстояний от каждой точки гиперболы до фокусов, через (по условию ). Как и в случае эллипса, ось абсцисс проведем через фокусы, а за начало координат примем середину отрезка (см. рис. 44). Фокусы в такой системе будут иметь координаты Выведем уравнение гиперболы в выбранной системе координат. По определению гиперболы для любой ее точки имеем или
Но . Поэтому получим
После упрощений, подобных тем, которые были сделаны при выводе уравнения эллипса, получим следующее уравнение:
которое является следствием уравнения (33).
Нетрудно заметить, что это уравнение совпадает с уравнением (27), полученным для эллипса. Однако в уравнении (34) разность , так как для гиперболы . Поэтому положим
Тогда уравнение (34) приводится к следующему виду:
Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы. Уравнению (36), как следствию уравнения (33), удовлетворяют координаты любой точки гиперболы. Можно показать, что координаты точек, не лежащих на гиперболе, уравнению (36) не удовлетворяют.
Установим форму гиперболы, пользуясь ее каноническим уравнением. Это уравнение содержит лишь четные степени текущих координат. Следовательно, гипербола имеет две оси симметрии, в данном случае совпадающих с координатными осями. В дальнейшем оси симметрии гиперболы мы будем называть осями гиперболы, а точку их пересечения - центром гиперболы. Ось гиперболы, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. Исследуем форму гиперболы в I четверти, где
Здесь так как иначе у принимал бы мнимые значения. При возрастании х от а до возрастает от 0 до Частью гиперболы, лежащей в I четверти, будет дуга , изображенная на рис. 47.
Так как гипербола расположена симметрично относительно координатных осей, то эта кривая имеет вид, изображенный на рис. 47.
Точки пересечения гиперболы с фокальной осью называются ее вершинами. Полагая в уравнении гиперболы, найдем абсциссы ее вершин: . Таким образом, гипербола имеет две вершины: . С осью ординат гипербола не пересекается. В самом деле, положив в уравнении гиперболы получим для у мнимые значения: . Поэтому фокальная ось гиперболы называется действительной осью, а ось симметрии, перпендикулярная фокальной оси, - мнимой осью гиперболы.
Действительной осью также называется отрезок, соединяющий вершины гиперболы, и его длина 2а. Отрезок, соединяющий точки (см. рис. 47), а также его длина называется мнимой осью гиперболы. Числа а и b соответственно называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.
Рассмотрим теперь гиперболу, расположенную в I четверти и являющуюся графиком функции
Покажем, что точки этого графика, расположенные на достаточно большом расстоянии от начала координат, сколь угодно близки к прямой
проходящей через начало координат и имеющей угловой коэффициент
С этой целью рассмотрим две точки имеющие одну и ту же абсциссу и лежащие соответственно на кривой (37) и прямой (38) (рис. 48), и составим разность между ординатами этих точек
Числитель этой дроби - величина постоянная, а знаменатель неограниченно возрастает при неограниченном возрастании . Поэтому разность стремится к нулю, т. е. точки М и N неограниченно сближаются при неограниченном возрастании абсциссы.
Из симметрии гиперболы относительно координатных осей следует, что имеется еще одна прямая , к которой сколь угодно близки точки гиперболы при неограниченном удалении от начала координат. Прямые
называются асимптотами гиперболы.
На рис. 49 указано взаимное расположение гиперболы и ее асимптот. На этом рисунке указано также, как построить асимптоты гиперболы.
Для этого следует построить прямоугольник с центром в начале координат и со сторонами, параллельными осям и соответственно равными . Этот прямоугольник называется основным. Каждая из его диагоналей, неограниченно продолженная в обе стороны, является асимптотой гиперболы. Перед построением гиперболы рекомендуется строить ее асимптоты.
Отношение половины расстояния между фокусами к действительной полуоси гиперболы называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается обычно буквой :
Так как для гиперболы , то эксцентриситет гиперболы больше единицы: Эксцентриситет характеризует форму гиперболы
Действительно, из формулы (35) следует, что . Отсюда видно, что чем меньше эксцентриситет гиперболы,
тем меньше отношение - ее полуосей. Но отношение - определяет форму основного прямоугольника гиперболы, а следовательно, и форму самой гиперболы. Чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее основной прямоугольник (в направлении фокальной оси).
Занятие 10 . Кривые второго порядка.
10.1. Эллипс. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, график.
10.2. Гипербола. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, асимптоты, график.
10.3. Парабола. Каноническое уравнение. Параметр параболы, график.
Кривыми второго порядка на плоскости называются линии, неявное задание которых имеет вид:
где
- заданные вещественные числа,
- координаты точек кривой. Наиболее
важными линиями среди кривых второго
порядка являются эллипс, гипербола,
парабола.
10.1. Эллипс. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, график.
Определение эллипса.
Эллипсом
называется плоская кривая, у которой
сумма расстояний от двух фиксированных
точек
плоскости до любой точки
(т.е.).
Точки
называются фокусами эллипса.
Каноническое уравнение эллипса
:
.
(2)
(или
ось
)
проходит через фокусы
,
а начало координат – точка
-
находится в центре отрезка
(рис.1). Эллипс (2) симметричен относительно
осей координат и начала координат
(центра эллипса). Постоянные
,
называются
полуосями эллипса
.
Если эллипс задан уравнением (2), то фокусы эллипса находятся так.
1) Сначала определяем, где лежат фокусы: фокусы лежат на той координатной оси, на которой расположены бóльшие полуоси.
2) Затем вычисляется фокусное расстояние
(расстояние от фокусов до начала
координат).
При
фокусы лежат на оси
;
;
.
При
фокусы лежат на оси
;
;
.
Эксцентриситетом
эллипса называется
величина:
(при
);
(при
).
У эллипса всегда
.
Эксцентриситет служит характеристикой
сжатия эллипса.
Если эллипс (2) переместить так, что центр
эллипса попадет в точку
,
,
то уравнение полученного эллипса имеет
вид
.
10.2. Гипербола. Каноническое уравнение. Полуоси, эксцентриситет, асимптоты, график.
Определение гиперболы.
Гиперболой
называется плоская кривая, у которой
абсолютная величина разности расстояний
от двух фиксированных точек
плоскости до любой точки
этой кривой есть постоянная величина,
независящая от точки
(т.е.).
Точки
называются фокусами гиперболы.
Каноническое уравнение гиперболы
:
или
.
(3)
Такое уравнение получается, если
координатная ось
(или
ось
)
проходит через фокусы
,
а начало координат – точка
-
находится в центре отрезка
.
Гиперболы (3) симметричны относительно
осей координат и начала координат.
Постоянные
,
называются
полуосями гиперболы
.
Фокусы гиперболы находятся так.
У гиперболы
фокусы лежат на оси
:
(рис. 2.а).
У гиперболы
фокусы лежат на оси
:
(рис. 2.б)
Здесь
-
фокусное расстояние (расстояние от
фокусов до начала координат). Оно
вычисляется по формуле:
.
Эксцентриситетом гиперболы называется величина:
(для
);
(для
).
У гиперболы всегда
.
Асимптотами гипербол
(3) являются
две прямые:
.
Обе ветви гиперболы неограниченно
приближаются к асимптотам с ростом
.
Построение графика гиперболы следует
проводить так: сначала по полуосям
строим вспомогательный прямоугольник
со сторонами, параллельными осям
координат; затем через противоположные
вершины этого прямоугольника проводим
прямые, это – асимптоты гиперболы;
наконец изображаем ветви гиперболы,
они касаются середин соответствующих
сторон вспомогательного прямоугольника
и приближаются с ростом
к асимптотам (рис. 2).
Если гиперболы (3) переместить так, что
их центр попадет в точку
,
а полуоси останутся параллельны осям
,
,
то уравнение полученных гипербол
запишутся в виде
,
.
10.3. Парабола. Каноническое уравнение. Параметр параболы, график.
Определение параболы.
Параболой
называется плоская кривая, у которой
для любой точки
этой кривой расстояние от
до фиксированной точки
плоскости (называемой фокусом параболы)
равно расстоянию от
до фиксированной прямой на плоскости
(называемой директрисой параболы)
.
Каноническое уравнение параболы
:
,
(4)
где
- постоянная, называемая
параметром
параболы.
Точка
параболы (4) называется вершиной параболы.
Ось
является осью симметрии. Фокус параболы
(4) находится в точке
,
уравнение директрисы
.
Графики параболы (4) со значениями
и
приведены
на рис. 3.а и 3.б соответственно.
Уравнение
также определяет параболу на плоскости
,
у которой по сравнению с параболой (4),
оси
,
поменялись местами.
Если параболу (4) переместить так, что
ее вершина попадет в точку
,
а ось симметрии останется параллельна
оси
,
то уравнение полученной параболы имеют
вид
.
Перейдем к примерам.
Пример 1
. Кривая второго порядка
задана уравнением
.
Дать название этой кривой. Найти ее
фокусы и эксцентриситет. Изобразить
кривую и ее фокусы на плоскости
.
Решение. Данная кривая является эллипсом
с центром в точке
и полуосями
.
В этом легко убедиться, если провести
замену
.
Это преобразование означает переход
от заданной декартовой системы координат
к новой
декартовой системе
координат
,
у которой оси
параллельны
осям
,
.
Это преобразование координат называется
сдвигом системы
в точку
.
В
новой системе
координат
уравнение кривой преобразуется в
каноническое уравнение эллипса
,
его график приведен на рис. 4.
Найдем фокусы.
,
поэтому фокусы
эллипса расположены на оси
..
В системе координат
:
.
Т.к.
,
в старой системе координат
фокусы имеют координаты.
Пример 2 . Дать название кривой второго порядкаи привести ее график.
Решение. Выделим полные квадраты по
слагаемым, содержащим переменные
и
.
Теперь, уравнение кривой можно переписать так:
Следовательно, заданная кривая является
эллипсом с центром в точке
и полуосями
.
Полученные сведения позволяют нарисовать
его график.
Пример 3
. Дать название и привести
график линии
.
Решение.
.
Это – каноническое уравнение эллипса
с центром в точке
и полуосями
.
Поскольку,
,
делаем заключение:
заданное уравнение
определяет на плоскости
нижнюю половину эллипса (рис. 5).
Пример 4
. Дать название кривой второго
порядка
.
Найти ее фокусы, эксцентриситет. Привести
график этой кривой.
-
каноническое уравнение гиперболы с
полуосями
.
Фокусное расстояние.
Знак "минус" стоит перед слагаемым
с
,
поэтому фокусы
гиперболы лежат на оси
:.
Ветви гиперболы располагаются над и
под осью
.
- эксцентриситет гиперболы.
Асимптоты гиперболы: .
Построение графика этой гиперболы осуществляется в соответствии с изложенным выше порядком действий: строим вспомогательный прямоугольник, проводим асимптоты гиперболы, рисуем ветви гиперболы (см. рис.2.б).
Пример 5
. Выяснить вид кривой,
заданной уравнением
и построить ее график.
- гипербола с центром в точке
и полуосями.
Т.к.
,
заключаем: заданное уравнение определяет
ту часть гиперболы, которая лежит Справа
от прямой
.
Гиперболу лучше нарисовать во
вспомогательной системе координат
,
полученной из системы координат
сдвигом
,
а затем жирной линией выделить нужную
часть гиперболы
Пример 6 . Выяснить вид кривойи нарисовать ее график.
Решение. Выделим
полный квадрат
по
слагаемым с переменной
:
Перепишем уравнение кривой.
Это – уравнение параболы с вершиной в
точке
.
Преобразованием сдвигауравнение параболы приводится к
каноническому виду
,
из которого видно, что- параметр параболы. Фокус
параболы в системе
имеет координаты
,,
а в системе
(согласно преобразованию сдвига).
График параболы приведен на рис. 7.
Домашнее задание .
1. Нарисовать эллипсы, заданные уравнениями:
Найти их полуоси, фокусное расстояние,
эксцентриситет и указать на графиках
эллипсов места расположения их фокусов.
2. Нарисовать гиперболы, заданные
уравнениями:
Найти их полуоси, фокусное расстояние,
эксцентриситет и указать на графиках
гипербол места расположения их фокусов.
Написать уравнения асимптот данных
гипербол.
3. Нарисовать параболы, заданные
уравнениями:
.
Найти их параметр, фокусное расстояние
и указать на графиках парабол место
расположения фокуса.
4. Уравнение
определяет часть кривой 2-го порядка.
Найти каноническое уравнение этой
кривой, записать ее название, построить
ее график и выделить на нем ту часть
кривой, которая отвечает исходному
уравнению.
Гиперболой называется геометрическое место точек, для которых разность расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; указанная разность берется по абсолютному значению и обозначается обычно через 2а, Фокусы гиперболы обозначают буквами F 1 и F 2 , расстояние между ними - через 2с. По определению гиперболы 2а
Пусть дана гипербола. Если оси декартовой прямоугольной системы координат выбраны так, что фокусы данной гиперболы располагаются на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, то в этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид
х 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, (1)
где b = √(с 2 - а 2). Уравнение вида (I) называется каноническим уравнением гиперболы При указанном выборе системы координат оси координат являются осями симметрии гиперболы, а начало координат -ее центром симметрии (рис. 18). Оси симметрии гиперболы называются просто ее осями, центр симметрии-центром гиперболы. Гипербола пересекает одну из своих осей; точки пересечения называются вершинами гиперболы. На рис. 18 вершины гиперболы суть точки А" и А.
Прямоугольник со сторонами 2а и 2b, расположенный симметрично относительно осей гиперболы и касающийся ее в вершинах, называется основным прямоугольником гиперболы.
Отрезки длиной 2а и 2b, соединяющие середины сторон основного прямоугольника гиперболы, также называют ее осями. Диагонали основного прямоугольника (неограниченно продолженные) являются асимптотами гиперболы; их уравнения суть:
y = b/a x, y = - b/a x
Уравнение
X 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 (2)
определяет гиперболу, симметричную относительно координатных осей с фокусами на оси ординат; уравнение (2),как и уравнение (1), называется каноническим уравнением гиперболы; в этом случае постоянная разность расстояний от произвольной точки гиперболы до фокусов равна 2b.
Две гиперболы, которые определяются уравнениями
x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1, - x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1
в одной и той же системе координат, называются сопряженными.
Гипербола с равными полуоясми (а = b) называется равносторонней,; ее каноническое уравнение имеет вид
х 2 - у 2 = а 2 или - х 2 + у 2 = а 2 .
где а - расстояние от центра гиперболы до ее вершины, называется эксцентриситетом гиперболы. Очевидно, для любой гиперболы ε > 1. Если М(х; у) - произвольная точка гиперболы, то отрезки F 1 М и F 2 M (см. рис. 18) называются фокальными радиусами точки М. Фокальные радиусы точек правой ветви гиперболы вычисляются по формулам
r 1 = εх + а, r 2 = εх - а,
фокальные радиусы точек левой ветви - по формулам
r 1 = -εх - а, r 2 = -εх + а
Если гипербола задана уравнением (1), то прямые, определяемые уравнениями
x = -a/ε, x = a/ε
называются ее директрисами (см. рис. 18). Если гипербола задана уравнением (2), то директрисы определяются уравнениями
x = -b/ε, x = b/ε
Каждая директриса обладает следующим свойством: если r - расстояние от произвольной точки гиперболы до некоторого фокуса, d - расстояние от той же точки до односторонней с этим фокусом директрисы, то отношение r/d есть постоянная величина, равная эксцентриситету гиперболы:
515. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
1) ее оси 2а = 10 и 2b = 8;
2) расстояние между фокусами 2с = 10 и ось 2b = 8;
3) расстояние между фокусами 2с = 6 и эксцентриситет ε = 3/2;
4) ось 2а = 16 и эксцентриситет ε = 5/4;
5) уравнения асимптот у = ±4/3х и расстояние между фокусами 2с = 20;
6) расстояние между директрисами равно 22 2/13 и расстояние между фокусами 2с = 26; 39
7) расстояние между директрисами равно 32/5 и ось 2b = 6;
8) расстояние между директрисами равно 8/3 и эксцентриситет ε = 3/2;
9) уравнения асимптот у = ± 3/4 х и расстояние между директрисами равно 12 4/5.
516. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси ординат симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
1) ее полуоси а = 6, b = 18 (буквой а мы обозначаем полуось гиперболы, расположенную на оси абсцисс);
2) расстояние между фокусами 2с = 10 и эксцеитриситет ε = 5/3; оч и. 12
3) уравнения асимптот у = ±12/5х и расстояние между вершинами равно 48;
4) расстояние между директрисами равно 7 1/7 и эксцентриситет ε = 7/5;
5) уравнения асимптот у = ± 4/3x и расстояние между директрисами равно 6 2/5.
517. Определить полуоси а и b каждой из следующих гипербол:
1) x 2 /9 - y 2 /4 = 1; 2) x 2 /16 - y 2 = 1; 3) x 2 - 4y 2 = 16;
4) x 2 - y 2 = 1; 5) 4x 2 - 9y 2 = 25; 6) 25x 2 -16y 2 = 1;
7) 9x 2 - 64y 2 = 1.
518. Дана гипербола 16x 2 - 9y 2 = 144. Найти: 1) полуоси а и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.
519. Дана гипербола 16x 2 - 9у 2 = -144. Найти: 1) полуоси a и b; 2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.
520. Вычислить площадь треугольника, образованного асимптотами гиперболы x 2 /4 - y 2 /9 = 1 и прямой 9x + 2y - 24 = 0.
521. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
1) y = +2/3√(x 2 - 9); 2) y = -3√(x 2 + 1)
3) x = -4/3√(y 2 + 9); 4) +2/5√(x 2 + 25)
522. Дана точка M 1 (l0; - √5) на гиперболе - x 2 /80 - y 2 /20 = 1. Составить уравнения прямых, на которых лежат фокальные радиусы точки M 1 .
523. Убедившись, что точка M 1 (-5; 9/4) лежит на гилерболе x 2 /16 - y 2 /9 = 1, определить фокальные радиусы точки M 1 .
524. Эксцентриситет гиперболы ε = 2, фокальный ра-диус ее точки М, проведенный из некоторого фокуса, равен 16. Вычислить расстояние от точки М до односторонней с этим фокусом директрисы.
525. Эксцентриситет гиперболы ε = 3, расстояние от точки, М гиперболы до директрисы равно 4. Вычислить расстояние от точки М до фокуса, одностороннего с этой директрисой.
526. Эксцентриситет гиперболы ε = 2, центр ее лежит в начале координат, один из фокусов F(12; 0). Вычислить расстояние от точки M 1 гиперболы с абсциссой, равной 13, до директрисы, соответствующей заданному фокусу.
527. Эксцентриситет гиперболы ε = 3/2, центр ее лежит в начале координат, одна из директрис дана уравнением х = -8. Вычислить расстояние от точки M 1 гиперболы с абсциссой, равной 10, до фокуса, соответствующего заданной директрисе.
528. Определить точки гиперболы - x 2 /64 - y 2 /36 = 1, расстояние которых до правого фокуса равно 4,5.
529. Определить точки гиперболы x 2 /9 - y 2 /16 = 1, расстояние которых до левого фокуса равно 7.
530. Через левый фокус гиперболы x 2 /144 - y 2 /25 = 1 про-веден перпендикуляр к ее оси, содержащей вершины. Определить расстояния от фокусов до точек пересечения этого перпендикуляра с гиперболой.
531. Пользуясь одним циркулем, построить фокусы гиперболы x 2 /16 - y 2 /25 = 1 (считая, что оси координат изображены и масштабная единица задана).
532. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:
1) точки М 1 (6; -1) и М 2 (-8; 2√2) гиперболы;
2) точка M 1 (-5; 3) гиперболы и эксцентриситет ε = √2;
3) точка M 1 (9/2;-l) гиперболы и уравнения асимптот у = ± 2.3х;
4) точка M 1 (-3 ; 5.2) гиперболы и уравнения директрис х = ± 4/3;
5) уравнения асимптот у = ±-3/4х и уравнения директрис х = ± 16/5
533. Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы.
534. Определить эксцентриситет гиперболы, если отрезок между ее вершинами виден из фокусов сопряженной гиперболы под углом в 60°.
535. Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса x 2 /25 + y 2 /9 = 1. Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет ε = 2.
536. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат в вершинах эллипса x 2 /100 + y 2 /64 = 1, а директрисы проходят через фокусы этого эллипса.
537. Доказать, что расстояние от фокуса гиперболы x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 до ее асимптоты равно b.
538. Доказать что произведение расстояний от любой точки гиперболыx x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 до двух ее асимптот есть величина постоянная, равная a 2 b 2 /(a 2 + b 2)
539. Доказать, что площадь параллелограмма, ограниченного асимптотами гиперболы x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 и прямыми, проведенными через любую ее точку параллельно асимптотам, есть величина постоянная, равная ab/2.
540. Составить уравнение гиперболы, если известны ее полуоси а и b, центр С(х 0 ;у 0) и фокусы расположены на прямой: 1) параллельной оси Ох; 2) параллельной оси Оу.
541. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис:
1) 16x 2 - 9у 2 - 64x - 54у - 161 =0;
2) 9x 2 - 16у 2 + 90x + 32y - 367 = 0;
3) 16x 2 - 9у 2 - 64x - 18у + 199 = 0.
542. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
1) у = - 1 + 2/3√(x 2 - 4x - 5);
2) у = 7- 3/2√(х 2 - 6х + 13);
3) x = 9 - 2√(y 2 + 4y + 8);
4) Х = 5 + 3/4√(y 2 + 4y - 12).
Изобразить эти линии на чертеже.
543. Составить уравнение гиперболы, зная, что:
1) расстояние между ее вершинами равно 24 и фокусы суть F 1 (-10;2), F 2 (16; 2);
2) фокусы суть F 1 (3;4), F 2 (-3; -4) и расстояние между директрисами равно 3,6;
3) угол между асимптотами равен 90° и фокусы суть F 1 (4; -4), F 1 (- 2;2).
544. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет ε = 5/4, фокус F (5; 0) и уравнение соответствующей директрисы 5х - 16 = 0.
545. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет е - фокус F(0; 13) и уравнение соответствующей директрисы 13y - 144 = 0.
546. Точка А (-3; - 5) лежит на гиперболе, фокус которой F (-2;-3), а соответствующая директриса дана уравнением x + 1 = 0. Составить уравнение этой гиперболы.
547. Составить уравнение гиперболы, если известны ее эксцентриситет ε = √5, фокус F(2;-3) и уравнение соответствующей директрисы Зх - у + 3 = 0.
548. Точка M 1 (1; 2) лежит на гиперболе, фокус которой F(-2; 2), а соответствующая директриса дана уравнением 2х - у - 1 = 0. Составить уравнение этой гиперболы.
549. Дано уравнение равносторонней гиперболы х 2 - у 2 = а 2 . Найти ее уравнение в новой системе, приняв за оси координат ее асимптоты.
550. Установив, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, найти для каждой из них центр, полуоси, уравнения асимптот и построить их на чертеже: 1) ху = 18; 2) 2ху - 9 = 0; 3) 2ху + 25 = 0.
551. Найти точки пересечения прямой 2x - y - 10 = 0 и гиперболы х 2 /20 - y 2 /5 = 1.
552. Найти точки пересечения прямой 4х - 3y - 16 = 0 и гиперболы х 2 /25 - y 2 /16 = 1.
553. Найти точки пересечения прямой 2x - y + 1 = 0 и гиперболы х 2 /9 - y 2 /4 = 1.
554. В следующих случаях определить, как расположена прямая относительно гиперболы: пересекает ли, касается или проходит вне ее:
1) x - y - 3 = 0, х 2 /12 - y 2 /3 = l;
2) x - 2y + 1 = 0, х 2 /16 - y 2 /9 = l;
555. Определить, при каких значениях m прямая y = 5/2x + m
1) пересекает гиперболу x 2 /9 - y 2 /36 = 1; 2) касается ее;
3) проходит вне этой гиперболы.
556. Вывести условие, при котором прямая у = kx + m касается гиперболы х 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1.
557. Составить уравнение касательной к гиперболе х 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 в ее точке Af, (*,; #i).
558. Доказать, что касательные к гиперболе, про-веденные в концах одного и того же диаметра, параллельны.
559. Составить уравнения касательных к гиперболе х 2 /20 - y 2 /5 = 1, перпендикулярных к прямой 4x + Зy - 7 = 0.
560. Составить уравнения касательных к гиперболе x 2 /16 - y 2 /64 = 1, параллельных прямой 10x - 3y + 9 = 0.
561. Провести касательные к гиперболе x 2 /16 - y 2 /8 = - 1 параллельно прямой 2x + 4y - 5 = 0 и вычислить расстояние d между ними.
562. На гиперболе x 2 /24- y 2 /18 = 1 найти точку М 1 , ближайшую к прямой Зx + 2y + 1 = О, и вычислить расстояние d от точки M x до этой прямой.
563. Составить уравнение касательных к гиперболе х 2 - y 2 = 16, проведенных из точки A(- 1; -7).
564. Из точки С(1;-10) проведены касательные к гиперболе x 2 /8 - y 2 /32 = 1. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
565. Из точки Р(1; -5) проведены касательные к гиперболе x 2 /3 - y 2 /5 = 1. Вычислить расстояние d от точки Р до хорды гиперболы, соединяющей точки касания.
566. Гипербола проходит через точку А(√6; 3) и касается прямой 9x + 2у - 15 == 0. Составить уравнение этой гиперболы при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
567. Составить уравнение гиперболы, касающейся двух прямых: 5x - 6y - 16 = 0, 13x - 10y - 48 = 0, при условии, что ее оси совпадают с осями координат.
568. Убедившись, что точки пересечения эллипса x 2 /3 - y 2 /5 = 1 и гиперболы x 2 /12 - y 2 /3 = 1 являются вершинами прямоугольника, составить уравнения его сторон.
569. Даны гиперболы x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 и какая-нибудь ее касательная: Р - точка пересечения касательной с осью Ox, Q - проекция точки касания на ту же ось. Доказать, что ОР OQ = а 2 .
570. Доказать, что фокусы гиперболы расположены по разные стороны от любой ее касательной.
571. Доказать, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к гиперболе x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 есть величина постоянная, равная b 2 .
572. Прямая 2x - y - 4 == 0 касается гиперболы, фокусы которой находятся в точках F 1 (-3; 0) и F 2 (3;0). Составить уравнение этой гиперболы.
573. Составить уравнение гиперболы, фокусы кото-рой расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если известны уравнение касательной к гиперболе 15x + 16y - 36 = 0 и расстояние между ее вершинами 2а = 8.
574. Доказать, что прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальными радиусами F 1 M, F 2 M и проходит внутри угла F 1 MF 2 . Х^
575. Из правого фокуса гиперболы x 2 /5 - y 2 /4 = 1 под углом α(π
576. Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом.
577. Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Ох равен 4/3 . Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется гипербола x 2 /16 - y 2 /9 = 1. Указание. См. задачу 509.
578. Коэффициент равномерного сжатия плоскости к оси Оу равен 4/5. Определить уравнение линии, в которую при этом сжатии преобразуется гипербола x 2 /25 - y 2 /9 = 1.
579. Найти уравнение линии, в которую преобразуется гипербола х 2 - у 2 = 9 при двух последовательных равномерных сжатиях плоскости к координатным осям , если коэффициенты равномерного сжатия плос- кости к осям Ох и Оу соответственно равны 2/3 и 5/3.
580. Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Ох, при котором гипербола - x 2 /25 - y 2 /36 = 1 преобразуется в гиперболу x 2 /25 - y 2 /16 = 1.
581. Определить коэффициент q равномерного сжатия плоскости к оси Оу, при котором гипербола x 2 /4 - y 2 /9 = 1 преобразуется в гиперболу x 2 /16 - y 2 /9 = 1.
582. Определить коэффициенты q 1 и q 2 двух последовательных равномерных сжатий плоскости к осям Ох и Оу, при которых гипербола x 2 /49 - y 2 /16 = 1 преобразуется в гиперболу x 2 /25 - y 2 /64 = 1.
Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до двух заданных точек F_1 и F_2 есть величина постоянная (2a) , меньшая расстояния (2c) между этими заданными точками (рис.3.40,а). Это геометрическое определение выражает фокальное свойство гиперболы .
Фокальное свойство гиперболы
Точки F_1 и F_2 называются фокусами гиперболы, расстояние 2c=F_1F_2 между ними - фокусным расстоянием, середина O отрезка F_1F_2 - центром гиперболы, число 2a - длиной действительной оси гиперболы (соответственно, a - действительной полуосью гиперболы). Отрезки F_1M и F_2M , соединяющие произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M . Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.
Отношение e=\frac{c}{a} , где c=\sqrt{a^2+b^2} , называется эксцентриситетом гиперболы . Из определения (2a<2c) следует, что e>1 .
Геометрическое определение гиперболы , выражающее ее фокальное свойство, эквивалентно ее аналитическому определению - линии, задаваемой каноническим уравнением гиперболы:
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1.
Действительно, введем прямоугольную систему координат (рис.3.40,б). Центр O гиперболы примем за начало системы координат; прямую, проходящую через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F_1 к точке F_2 ); прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).
Составим уравнение гиперболы, используя геометрическое определение, выражающее фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F_1(-c,0) и F_2(c,0) . Для произвольной точки M(x,y) , принадлежащей гиперболе, имеем:
\left||\overrightarrow{F_1M}|-|\overrightarrow{F_2M}|\right|=2a.
Записывая это уравнение в координатной форме, получаем:
\sqrt{(x+c)^2+y^2}-\sqrt{(x-c)^2+y^2}=\pm2a.
Выполняя преобразования, аналогичные преобразованиям, используемым при выводе уравнения эллипса (т.е. избавляясь от иррациональности), приходим к каноническому уравнению гиперболы:
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\,
где b=\sqrt{c^2-a^2} , т.е. выбранная система координат является канонической.
Проводя рассуждения в обратном порядке, можно показать, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (3.50), и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Таким образом, аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению .
Директориальное свойство гиперболы
Директрисами гиперболы называются две прямые, проходящие параллельно оси ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии a^2\!\!\not{\phantom{|}}\,c от нее (рис.3.41,а). При a=0 , когда гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, директрисы совпадают.
Гиперболу с эксцентриситетом e=1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку , постоянно и равно эксцентриситету e ( директориальное свойство гиперболы ). Здесь F и d - один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.
В самом деле, например, для фокуса F_2 и директрисы d_2 (рис.3.41,а) условие \frac{r_2}{\rho_2}=e можно записать в координатной форме:
\sqrt{(x-c)^2+y^2}=e\left(x-\frac{a^2}{c}\right)
Избавляясь от иррациональности и заменяя e=\frac{c}{a},~c^2-a^2=b^2 , приходим к каноническому уравнению гиперболы (3.50). Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F_1 и директрисы d_1 :
\frac{r_1}{\rho_1}=e \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt{(x+c)^2+y^2}= e\left(x+\frac{a^2}{c} \right).
Уравнение гиперболы в полярной системе координат
Уравнение правой ветви гиперболы в полярной системе координат F_2r\varphi (рис.3.41,б) имеет вид
R=\frac{p}{1-e\cdot\cos\varphi} , где p=\frac{p^2}{a} - фокальный параметр гиперболы .
В самом деле, выберем в качестве полюса полярной системы координат правый фокус F_2 гиперболы, а в качестве полярной оси - луч с началом в точке F_2 , принадлежащий прямой F_1F_2 , но не содержащий точки F_1 (рис.3.41,б). Тогда для произвольной точки M(r,\varphi) , принадлежащей правой ветви гиперболы, согласно геометрическому определению (фокальному свойству) гиперболы, имеем F_1M-r=2a . Выражаем расстояние между точками M(r,\varphi) и F_1(2c,\pi) (см. пункт 2 замечаний 2.8):
F_1M=\sqrt{(2c)^2+r^2-2\cdot(2c)^2\cdot r\cdot\cos(\varphi-\pi)}=\sqrt{r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}.
Следовательно, в координатной форме уравнение гиперболы имеет вид
\sqrt{r^2+4\cdot c\cdot r\cdot\cos\varphi+4\cdot c^2}-r=2a.
Уединяем радикал, возводим обе части уравнения в квадрат, делим на 4 и приводим подобные члены:
R^2+4cr\cdot\cos\varphi+4c^2=4a^2+4ar+r^2 \quad \Leftrightarrow \quad a\left(1-\frac{c}{a}\cos\varphi\right)r=c^2-a^2.
Выражаем полярный радиус r и делаем замены e=\frac{c}{a},~b^2=c^2-a^2,~p=\frac{b^2}{a} :
R=\frac{c^2-a^2}{a(1-e\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{b^2}{a(1-e\cos\varphi)} \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac{p}{1-e\cos\varphi},
что и требовалось доказать. Заметим, что в полярных координатах уравнения гиперболы и эллипса совпадают, но описывают разные линии , поскольку отличаются эксцентриситетами ( e>1 для гиперболы, 0\leqslant e<1 для эллипса).
Геометрический смысл коэффициентов в уравнении гиперболы
Найдем точки пересечения гиперболы (рис.3.42,а) с осью абсцисс (вершины гиперболы). Подставляя в уравнение y=0 , находим абсциссы точек пересечения: x=\pm a . Следовательно, вершины имеют координаты (-a,0),\,(a,0) . Длина отрезка, соединяющего вершины, равна 2a . Этот отрезок называется действительной осью гиперболы, а число a - действительной полуосью гиперболы. Подставляя x=0 , получаем y=\pm ib . Длина отрезка оси ординат, соединяющего точки (0,-b),\,(0,b) , равна 2b . Этот отрезок называется мнимой осью гиперболы, а число b - мнимой полуосью гиперболы. Гипербола пересекает прямую, содержащую действительную ось, и не пересекает прямую, содержащую мнимую ось.
Замечания 3.10.
1. Прямые x=\pm a,~y=\pm b ограничивают на координатной плоскости основной прямоугольник, вне которого находится гипербола (рис.3.42,а).
2. Прямые , содержащие диагонали основного прямоугольника, называются асимптотами гиперболы (рис.3.42,а).
Для равносторонней гиперболы , описываемой уравнением (т.е. при a=b ), основной прямоугольник является квадратом, диагонали которого перпендикулярны. Поэтому асимптоты равносторонней гиперболы также перпендикулярны, и их можно взять в качестве координатных осей прямоугольной системы координат Ox"y" (рис.3.42,б). В этой системе координат уравнение гиперболы имеет вид y"=\frac{a^2}{2x"} (гипербола совпадает с графиком элементарной функции, выражающей обратно-пропорциональную зависимость).
В самом деле, повернем каноническую систему координат на угол \varphi=-\frac{\pi}{4} (рис.3.42,б). При этом координаты точки в старой и новой системах координат связаны равенствами
\left\{\!\begin{aligned}x&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x"+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot y",\\ y&=-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot x"+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot y"\end{aligned}\right. \quad \Leftrightarrow \quad \left\{\!\begin{aligned}x&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(x"+y"),\\ y&=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot(y"-x")\end{aligned}\right.
Подставляя эти выражения в уравнение \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=1 равносторонней гиперболы и приводя подобные члены, получаем
\frac{\frac{1}{2}(x"+y")^2}{a^2}-\frac{\frac{1}{2}(y"-x")^2}{a^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad 2\cdot x"\cdot y"=a^2 \quad \Leftrightarrow \quad y"=\frac{a^2}{2\cdot x"}.
3. Координатные оси (канонической системы координат) являются осями симметрии гиперболы (называются главными осями гиперболы), а ее центр - центром симметрии.
Действительно, если точка M(x,y) принадлежит гиперболе . то и точки M"(x,y) и M""(-x,y) , симметричные точке M относительно координатных осей, также принадлежат той же гиперболе.
Ось симметрии, на которой располагаются фокусы гиперболы, является фокальной осью.
4. Из уравнения гиперболы в полярных координатах r=\frac{p}{1-e\cos\varphi} (см. рис.3.41,б) выясняется геометрический смысл фокального параметра - это половина длины хорды гиперболы, проходящей через ее фокус перпендикулярно фокальной оси ( r=p при \varphi=\frac{\pi}{2} ).
5. Эксцентриситет e характеризует форму гиперболы. Чем больше e , тем шире ветви гиперболы, а чем ближе e к единице, тем ветви гиперболы уже (рис.3.43,а).
Действительно, величина \gamma угла между асимптотами гиперболы, содержащего ее ветвь, определяется отношением сторон основного прямоугольника: \operatorname{tg}\frac{\gamma}{2}=\frac{b}{2} . Учитывая, что e=\frac{c}{a} и c^2=a^2+b^2 , получаем
E^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+{\left(\frac{b}{a}\right)\!}^2=1+\operatorname{tg}^2\frac{\gamma}{2}.
Чем больше e
, тем больше угол \gamma
. Для равносторонней гиперболы (a=b)
имеем e=\sqrt{2}
и
\gamma=\frac{\pi}{2}
. Для e>\sqrt{2}
угол \gamma
тупой, а для 1
6
. Две гиперболы, определяемые в одной и той же системе координат уравнениями
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
и называются
сопряженными друг с другом
. Сопряженные гиперболы имеют одни и те же асимптоты (рис.3.43,б).
Уравнение сопряженной гиперболы
-\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
приводится к каноническому при помощи переименования координатных осей (3.38).
7.
Уравнение
\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1
определяет гиперболу с центром в точке O"(x_0,y_0)
, оси которой параллельны координатным осям (рис.3.43,в). Это уравнение сводится к каноническому при помощи параллельного переноса (3.36). Уравнение
-\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1
определяет сопряженную гиперболу с центром в точке O"(x_0,y_0)
.
Параметрическое уравнение гиперболы в канонической системе координат имеет вид
\begin{cases}x=a\cdot\operatorname{ch}t,\\y=b\cdot\operatorname{sh}t,\end{cases}t\in\mathbb{R},
где
\operatorname{ch}t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}
- гиперболический косинус, a
\operatorname{sh}t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}
гиперболический синус.
Действительно, подставляя выражения координат в уравнение (3.50), приходим к основному гиперболическому тождеству
\operatorname{ch}^2t-\operatorname{sh}^2t=1
.
Пример 3.21.
Изобразить гиперболу
\frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1
в канонической системе координат Oxy
. Найти полуоси, фокусное расстояние, эксцентриситет, фокальный параметр, уравнения асимптот и директрис.
Решение.
Сравнивая заданное уравнение с каноническим, определяем полуоси: a=2
- действительная полуось, b=3
- мнимая полуось гиперболы. Строим основной прямоугольник со сторонами 2a=4,~2b=6
с центром в начале координат (рис.3.44). Проводим асимптоты, продлевая диагонали основного прямоугольника. Строим гиперболу, учитывая ее симметричность относительно координатных осей. При необходимости определяем координаты некоторых точек гиперболы. Например, подставляя x=4
в уравнение гиперболы, получаем
\frac{4^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1 \quad \Leftrightarrow \quad y^2=27 \quad \Leftrightarrow \quad y=\pm3\sqrt{3}.
Следовательно, точки с координатами (4;3\sqrt{3})
и (4;-3\sqrt{3})
принадлежат гиперболе. Вычисляем фокусное расстояние
2\cdot c=2\cdot\sqrt{a^2+b^2}=2\cdot\sqrt{2^2+3^2}=2\sqrt{13}
эксцентриситет
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{13}}{2}
; фокальныи параметр
p=\frac{b^2}{a}=\frac{3^2}{2}=4,\!5
. Составляем уравнения асимптот
y=\pm\frac{b}{a}\,x
, то есть
y=\pm\frac{3}{2}\,x
, и уравнения директрис:
x=\pm\frac{a^2}{c}=\frac{4}{\sqrt{13}}
.
Параметрическое уравнение гиперболы
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!