Комплексные случайные функции и их характеристики. Пятая случайные функции

Комплексной слуюйной функцией называютфункцию

Z ( t ) =X ( t ) +Y ( t ) i ,

где Х ( t ) и Y ( t )-действительные случайные функции действительного аргумента t .

Обобщим определения математического ожидания и дисперсии на комплексные случайные функции так, чтобы, в частности, при Y=0 эти характеристики совпали с ранее введенными характеристиками для действительных случайных функций, т. е. чтобы выполнялись требования:

m z ( t ) =m x ( t )(*)

D z ( t ) =D x ( t )(**)

Математическим , ожиданием , комплексной случайной функции Z ( t )= Х ( t ) +Y ( t ) i называют комплексную функцию (неслучайную)

m z ( t ) =m x ( t ) +m y ( t ) i .

В частности, при Y=0 получим т z ( t ) =т x ( t ),т.е. требование (*) выполняется.

Дисперсией комплексной случайной функции Z ( t ) называют математическое ожидание квадрата модуля центрированной функции Z ( t ) :

D z ( t ) =M [| ( t )| 2 ].

В частности, при Y==0 получим D z ( t ) = M [| ( t )|] 2 =D x ( t ), т. е. требование (**) выполняется.

Учитывая, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых, имеем

D z ( t ) =M [| ( t )| 2 ]= M {[ ( t )] 2 + [ ( t ) 2 ]}= M [ ( t )] 2 +M [ ( t ) 2 ]= D x ( t ) +D y ( t ).

Итак, дисперсия комплексной случайной функции равна сумме дисперсий ее действительной и мнимой частей:

D z ( t ) =D x ( t ) +D y ( t ).

Известно, что корреляционная функция действительной случайной функции Х ( t ) при разных значениях аргументов равна дисперсии D x ( t ). Обобщим определение корреляционной функции на комплексные случайные функции Z ( t ) так, чтобы при равных значениях аргументов t 1 =t 2 =t корреляционная функция K z ( t , t ) была равна дисперсии D z ( t ), т. е. чтобы выполнялось требование

K z ( t , t ) =D z ( t ). (***)

Корреляционной функцией комплексной случайной функции Z ( t ) называют корреляционный момент сечений ( t 1)и ( t 2)

K z ( t 1 , t 2) = M .

В частности, при равных значениях аргументов

K z ( t , t ) = M = M [| | 2 ]= D z ( t ).

т. е. требование (***) выполняется.

Если действительные случайные функции Х ( t ) и Y ( t )коррелированы, то

K z ( t 1 , t 2) = K x ( t 1 , t 2) +K y ( t 1 , t 2) + [ R xy ( t 2 , t 1)] + [ R xy ( t 1 , t 1)].

если Х ( t ) и Y ( t ) не коррелированы, то

K z ( t 1 , t 2) = K x ( t 1 , t 2) +K y ( t 1 , t 2).

Обобщим определение взаимной корреляционной функции на комплексные случайные функции Z 1 ( t )= Х 1 ( t )+ Y 1 ( t ) i и Z 2 ( t )= Х 2 ( t )+ Y 2 ( t ) i так, чтобы, в частности, при Y 1 =Y 2 = 0 выполнялось требование

Взаимной корреляционной функцией двух комплексных случайных функций называют функцию (неслучайную)

В частности, при Y 1 =Y 2 =0 получим

т. е. требование (****) выполняется.

Взаимная корреляционная функция двух комплексных случайных функций выражается через взаимные корреляционные функции их действительных и мнимых частей следующей формулой:

Задачи

1. Найти математическое ожидание случайных функций:

a) X ( t ) =Ut 2 , где U- случайная величина, причем M ( U ) =5 ,

б ) Х ( t ) =U cos2 t+Vt , где U и V- случайные величины, причем M ( U ) =3 , M ( V ) =4 .

Отв. а) m x (t)=5t 2 ; б) т x (t)=3 cos2t+4t.

2. К х ( t 1 , t 2) случайной функции X ( t ). Найти корреляционные функции случайных функций:

a) Y ( t ) =X ( t ) +t; б) Y ( t )=( t +1) X ( t ); в) Y ( t ) =4X ( t ).

Отв. a) К y (t 1 ,t 2)= К х (t 1 ,t 2); б) К y (t 1 ,t 2)=(t 1 +1)(t 2 +1) К х (t 1 ,t 2); в) К y (t 1 ,t 2)=16 К x (t 1 ,t 2)=.

3. Задана дисперсия D x ( t ) случайной функции Х ( t ). Найти дисперсию случайных функций: a) Y ( t ) =Х ( t ) +e t б ) Y ( t ) =tX ( t ).

Отв . a) D y ( t ) =D x ( t ) ; б) D y ( t ) =t 2 D x ( t ).

4. Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию случайной функции Х ( t )= Usin 2 t , где U- случайная величина, причем M ( U ) =3 , D ( U ) =6 .

Отв . а) m x ( t ) =3 sin 2 t; б) К х ( t 1 , t 2)= 6 sin 2 t 1 sin 2 t 2 ; в) D x ( t )=6 sin 2 2 t .

5. Найти нормированную корреляционную функцию случайной функции X ( t ), зная ее корреляционную функцию К х ( t 1 , t 2)=3 cos ( t 2 -t 1).

Отв. ρ x (t 1 ,t 2)=cos(t 2 -t 1).

6. Найти: а) взаимную корреляционную функцию; б) нормированную взаимную корреляционную функцию двух случайных функций X ( t )=( t +1) U , и Y( t ) = ( t 2 + 1) U , где U- случайная величина, причем D ( U )=7.

Отв . a) R xy ( t 1 , t 2)=7( t 1 +l)( t 2 2 +l); б) ρ xy ( t 1 , t 2)=1.

7. Заданы случайные функции Х ( t ) = ( t- 1) U и Y ( t )= t 2 U , где U и V - некоррелированные случайные величины, причем M ( U )=2, M ( V ) = 3, D ( U ) =4 , D ( V ) =5 . Найти: а) математическое ожидание; б) корреляционную функцию; в) дисперсию суммы Z ( t ) =X ( t ) +Y ( t ).

Указание. Убедиться, что взаимная корреляционная функция заданных случайных функций равна нулю и, следовательно, Х ( t ) и Y ( t ) не коррелированы.

Отв . а) m z ( t )=2( t - 1)+3 t 2 ; б) К z ( t 1 , t 2)=4( t 1 - l)( t 2 - 1)+6 t 1 2 t 2 2 ; в) D z ( t )=4( t - 1) 2 +6 t 4 .

8. Задано математическое ожидание m x ( t )= t 2 +1 случайной функции Х ( t ). Найти математическое ожидание ее производной.

9. Задано математическое ожидание m x ( t ) =t 2 +3 случайной функции Х ( t ). Найти математическое ожидание случайной функции Y ( t ) =tХ" ( t ) +t 3 .

Отв. m y (t)=t 2 (t+2).

10. Задана корреляционная функция К х ( t 1 , t 2)= случайной функции X ( t ). Найти корреляционную функцию ее производной.

11. Задана корреляционная функция К х ( t 1 , t 2)= случайной функции Х ( t ). Найти взаимные корреляционные функции.

1. ПОНЯТИЕ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ

До определенных пор теория вероятностей ограничивалась понятием случайных величин . Их использование позволяет выполнять статические расчеты, учитывающие случайные факторы. Однако механические системы подвергаются также разнообразным динамическим, то есть изменяющимся во времени воздействиям случайного характера. К ним относятся, в частности, вибрационные и ударные воздействия при движении транспортных средств, аэродинамические силы, вызванные атмосферной турбулентностью, сейсмические силы, нагрузки, обусловленные случайными отклонениями от номинальных режимов работы машин.

Случайные динамические явления изучаются при анализе тенденций в экономике (например, изменения курса акций или валюты). Работа в условиях случайных возмущений характерна для систем управления разнообразными динамическими объектами.

Для анализа подобных явлений используется понятие случайной функции . Случайной функцией X ( t ) называется такая функция аргумента t , значение которой при любом t является случайной величиной. Если аргумент принимает дискретные значения t 1 , t 2 , …, t k то говорят о случайной последовательности X 1 , X 2 ,…, X k , где X i = X ( t i ).

Во многих практических задачах неслучайный аргумент t имеет смысл времени, при этом случайную функцию называют случайным процессом , а случайную последовательность – временным рядом . Вместе с тем, аргумент случайной функции может иметь и иной смысл. Например, речь может идти о рельефе местности Z ( x , y ), где аргументами являются координаты местности x и y , а роль случайной функции играет высота над уровнем моря z. В дальнейшем, для определенности, имея в виду приложения случайных функций к исследованию динамических систем, будем говорить о случайных процессах.

Предположим, что при исследовании случайного процесса X ( t ) произведено n независимых опытов, и получены реализации

представляющие собой n детерминированных функций. Соответствующее семейство кривых в определенной мере характеризует свойства случайного процесса. Так, на рис.1.1а представлены реализации случайного процесса с постоянными средним уровнем и разбросом значений возле среднего, на рис. 1.1б – реализации случайного процесса с постоянным средним и изменяющимся разбросом, на рис. 1.1в – реализации случайного процесса с изменяющимися во времени средним и разбросом.

Рис.1.1. Типичные реализации случайных процессов

На рис. 1.2 показаны реализации двух случайных процессов, имеющих одинаковый средний уровень и разброс, но различающихся плавностью. Реализации случайного процесса на рис. 1.2а имеют высокочастотный характер, а на рис. 1.2б – низкочастотный.

Рис. 1.2. Высокочастотный и низкочастотный случайные процессы

Таким образом, X ( t ) можно рассматривать и как совокупность всевозможных реализаций, которая подчиняется определенным вероятностным закономерностям. Как и для случайных величин, исчерпывающую характеристику этих закономерностей дают функции или плотности распределения. Случайный процесс считается заданным, если заданы все многомерные законы распределения случайных величин X ( t i ), X ( t 2 ), …, X ( t n ) для любых значений t 1 , t 2 , …, t n из области изменения аргумента t . Речь идет, в частности, об одномерной плотности распределения , двумерной плотности распределения и т.д. .

Для упрощения анализа в большинстве случаев ограничиваются моментными характеристиками, причем чаще всего используют моменты первого и второго порядков. Для характеристики среднего уровня случайного процесса служит математическое ожидание

. (1.1)

Для характеристики амплитуды отклонений случайного процесса от среднего уровня служит дисперсия

Для характеристики изменчивости (плавности) случайного процесса служит корреляционная (автокорреляционная) функция

(1.3)

Как следует из (1.3), корреляционная функция представляет собой ковариацию случайных величин X ( t 1) и X ( t 2). Ковариация же, как известно из курса теории вероятностей, характеризует взаимозависимость между X ( t 1) и X ( t 2).

В рамках корреляционной теории случайных функций, которая оперирует лишь моментами первого и второго порядков, могут быть решены многие технические задачи. В частности, могут быть определены априорная, а также условная вероятности выхода случайного процесса за пределы заданных границ. Вместе с тем, некоторые важные в практическом плане задачи не решаются средствами корреляционной теории и требуют использования многомерных плотностей распределения. К таким задачам относится, например, расчет среднего времени нахождения случайного процесса выше или ниже заданной границы.

2. ТИПЫ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

2.1. Квазидетерминированные случайные процессы

Основные задачи

Можно выделить два основных вида задач, решение которых требует использования теории случайных функций.

Прямая задача {анализ): заданы параметры некоторого устройства и его вероятностные характеристики (математические ожидания, корреляционные функции, законы распределения) поступающей на его «вход» функции (сигнала, процесса); требуется определить характеристики на «выходе» устройства (по ним судят о «качестве» работы устройства).

Обратная задача {синтез): заданы вероятностные характеристики «входной» и «выходной» функций; требуется спроектировать оптимальное устройство (найти его параметры), осуществляющее преобразование заданной входной функции в такую выходную функцию, которая имеет заданные характеристики. Решение этой задачи требует кроме аппарата случайных функций привлечения и других дисциплин и в настоящей книге не рассматривается.

Определение случайной функции

Случайной функцией называют функцию неслучайного аргумента t, которая при каждом фиксированном значении аргумента является случайной величиной. Случайные функции аргумента t обозначают прописными буквами X{t), Y{t) и т.д.

Например, если U - случайная величина, то функция Х{!)=С U - случайная. Действительно, при каждом фиксированном значении аргумента эта функция является случайной величиной: при t { = 2

получим случайную величину Х х = AU, при t 2 = 1,5 - случайную величину Х 2 = 2,25 U и т.д.

Для краткости дальнейшего изложения введем понятие сечения.

Сечением случайной функции называют случайную величину, соответствующую фиксированному значению аргумента случайной функции. Например, для случайной функции X(t) = t 2 U, приведенной выше, при значениях аргумента 7, = 2 и t 2 = 1,5 были получены соответственно случайные величины X { = AUn Х 2 = 2,2577, которые и являются сечениями заданной случайной функции.

Итак, случайную ф у н к ц и ю можно рассматр и - вать как совокупность случайных величин {Х(?)}, зависящих от параметра t. Возможно и другое истолкование случайной функции, если ввести понятие ее реализации.

Реализацией ( траекторией , выборочной функцией) случайной функции X(t) называют неслучайную функцию аргумента t , равной которой может оказаться случайная функция в результате испытания.

Таким образом, если в опыте наблюдают случайную функцию, то в действительности наблюдают одну из возможных ее реализаций; очевидно, при повторении опыта будет наблюдаться другая реализация.

Реализации функции X(t) обозначают строчными буквами x t (t) t x 2 (t) и т.д., где индекс указывает номер испытания. Например, если X(t) = (/sin t, где U - непрерывная случайная величина, которая в первом испытании приняла возможное значение и { = 3, а во втором испытании и 2 = 4,6, то реализациями X(t) являются соответственно неслучайные функции х { ( t ) = 3sin t и х 2 (t) = 4,6sin t.

Итак, случайную функцию можно рассматривать как совокупность ее возможных реализаций.

Случайным ( стохастическим ) процессом называют случайную функцию аргумента t, который истолковывается как время. Например, если самолет должен лететь с заданной постоянной скоростью, то в действительности вследствие воздействия случайных факторов (колебание температуры, изменение силы ветра и др.), учесть влияние которых заранее нельзя, скорость изменяется. В этом примере скорость самолета - случайная функция от непрерывно изменяющегося аргумента (времени), т.е. скорость есть случайный процесс.

Заметим, что если аргумент случайной функции изменяется дискретно, то соответствующие ему значения случайной функции (случайные величины) образуют случайную последовательность.

Аргументом случайной функции может быть не только время. Например, если измеряется диаметр ткацкой нити вдоль ее длины, то вследствие воздействия случайных факторов диаметр нити изменяется. В этом примере диаметр - случайная функция от непрерывно изменяющегося аргумента (длины нити).

Очевидно, задать случайную функцию аналитически (формулой), вообще говоря, невозможно. В частных случаях, если вид случайной функции известен, а определяющие ее параметры - случайные величины, задать ее аналитически можно. Например, случайными являются функции:

X{t) = sin Qf, где Q - случайная величина,

X(t) = Г/sin t, где U - случайная величина,

X(t) = Г/sin Qt, где О. и }