Как решить систему способом подстановки. Как решается система уравнений? Методы решения систем уравнения

Разберем два вида решения систем уравнения:

1. Решение системы методом подстановки.
2. Решение системы методом почленного сложения (вычитания) уравнений системы.

Для того чтобы решить систему уравнений методом подстановки нужно следовать простому алгоритму:
1. Выражаем. Из любого уравнения выражаем одну переменную.
2. Подставляем. Подставляем в другое уравнение вместо выраженной переменной, полученное значение.
3. Решаем полученное уравнение с одной переменной. Находим решение системы.

Чтобы решить систему методом почленного сложения (вычитания) нужно:
1.Выбрать переменную у которой будем делать одинаковые коэффициенты.
2.Складываем или вычитаем уравнения, в итоге получаем уравнение с одной переменной.
3. Решаем полученное линейное уравнение . Находим решение системы.

Решением системы являются точки пересечения графиков функции.

Рассмотрим подробно на примерах решение систем.

Пример №1:

Решим методом подстановки

Решение системы уравнений методом подстановки

2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2 уравнение)

1. Выражаем
Видно что во втором уравнении имеется переменная x с коэффициентом 1,отсюда получается что легче всего выразить переменную x из второго уравнения.
x=3+10y

2.После того как выразили подставляем в первое уравнение 3+10y вместо переменной x.
2(3+10y)+5y=1

3.Решаем полученное уравнение с одной переменной.
2(3+10y)+5y=1 (раскрываем скобки)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

Решением системы уравнения является точки пересечений графиков, следовательно нам нужно найти x и у, потому что точка пересечения состоит их x и y.Найдем x, в первом пункте где мы выражали туда подставляем y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

Точки принято записывать на первом месте пишем переменную x, а на втором переменную y.
Ответ: (1; -0,2)

Пример №2:

Решим методом почленного сложения (вычитания).

Решение системы уравнений методом сложения

3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2 уравнение)

1.Выбираем переменную, допустим, выбираем x. В первом уравнении у переменной x коэффициент 3, во втором 2. Нужно сделать коэффициенты одинаковыми, для этого мы имеем право домножить уравнения или поделить на любое число. Первое уравнение домножаем на 2, а второе на 3 и получим общий коэффициент 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2.Из первого уравнения вычтем второе, чтобы избавиться от переменной x.Решаем линейное уравнение .
__6x-4y=2

5y=32 | :5
y=6,4

3.Находим x. Подставляем в любое из уравнений найденный y, допустим в первое уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Точкой пересечения будет x=4,6; y=6,4
Ответ: (4,6; 6,4)

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно . Без шуток.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком , в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Урок на тему: "Метод подстановки при решении систем линейных уравнений"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 7 класса
Электронное пособие "Пятёрка за год. Экспресс-курс по геометрии. 7-9 классы"
1С: "Интерактивные задания на построение для 7-10 классов"

Что такое система уравнений?

Система уравнений - это два линейных уравнения, для которых существуют пара чисел, удовлетворяющая обоим уравнениям. Система уравнений записываются следующим образом:
$\begin{cases}a_1x + b_1y +c = 0\\a_2x +b_2y +c = 0\end{cases}$

Решить систему уравнений - значит найти такие числа х и у, при которой оба уравнения превращаются в верное равенство или установить, что решения для данной системы уравнений нет.

Установить эту пару чисел можно графически, если построить для каждого уравнения системы график. Решением системы будет точка пересечения этих графиков.

Этот метод не очень удобен, т.к. требует построение графиков.

Метод подстановки

Еще один способ решения системы линейных уравнений - метода подстановки.

Пример.
Найдите два числа, разность которых равна 12, а сумма - 36.

Решение.
Обозначим через х и у числа, которые необходимо найти и составим систему линейных уравнений.
$\begin{cases}x - y = 12\\x + y = 36\end{cases}$

Представим первое уравнение, как y = x - 12, а второе уравнение представим, как y = 36 - x.

Тогда систему уравнений можно записать, как $\begin{cases}y = x - 12\\y = 36 - x\end{cases}$
Соединим оба уравнения.
x - 12 = 36 - х
2x = 48
x = 24
Тогда, у = 12.

Ответ: x = 24, у = 12.

Мы получили пару чисел, которая является решением системы уравнения, без построения графика.

Запишем алгоритм решения системы уравнений с двумя переменными, используя метод подстановки :
1. В первом уравнении системы выразим у через х.
2. Во второе уравнение вместо у подставим выражение, которое мы получили на первом шаге.
3. Решаем второе уравнение и находим х.
4. Найденное значение х подставим в первое уравнение системы.
5. Записываем ответ в виде пары чисел (х, у).

Системой линейных уравнений с двумя неизвестными - это два или несколько линейных уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения . Мы будем рассматривать системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Общий вид системы из двух линейных уравнений с двумя неизвестными представлен на рисунке ниже:

{ a1*x + b1*y = c1,
{ a2*x + b2*y = c2

Здесь х и у неизвестные переменные, a1,a2,b1,b2,с1,с2 - некоторые вещественные числа. Решением системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными называют пару чисел (x,y) такую, что если подставить эти числа в уравнения системы, то каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Рассмотри один из способов решения системы линейных уравнений, а именно способ подстановки.

Алгоритм решения способом подстановки

Алгоритм решения системы линейных уравнений способом подстановки:

1. Выбрать одно уравнение (лучше выбирать то, где числа меньше) и выразить из него одну переменную через другую, например, x через y. (можно и y через x).

2. Полученное выражение подставить вместо соответствующей переменной в другое уравнение. Таким образом, у нас получится линейное уравнение с одной неизвестной.

3. Решаем полученное линейное уравнение и получаем решение.

4. Подставляем полученное решение в выражение, полученное в первом пункте, получаем вторую неизвестную из решения.

5. Выполнить проверку полученного решения.

Пример

Для того, чтобы было более понятно, решим небольшой пример.

Пример 1. Решить систему уравнений:

{x+2*y =12
{2*x-3*y=-18

Решение:

1. Из первого уравнения данной системы выражаем переменную х. Имеем x= (12 -2*y);

2. Подставляем это выражение во второе уравнение, получаем 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4y - 3*y = -18;

3. Решаем полученное линейное равнение: 24 - 4y - 3*y =-18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;

4. Подставляем полученный результат в выражение, полученное в первом пункте. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Проверяем полученное решение, для этого подставляем найденные числа в исходную систему.

{x+2*y =12;
{2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Получили верные равенства, следовательно, мы правильно нашли решение.

Для решения системы линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки поступаем следующим образом:

1) выражаем одну переменную через другую в одном из уравнений системы (х через у или у через х);

2) подставляем полученное выражение в другое уравнение системы и получаем линейное уравнение с одной переменной;

3) решаем полученное линейное уравнение с одной переменной и находим значение этой переменной;

4) найденное значение переменной подставляем в выражение (1) для другой переменной и находим значение этой переменной.

Примеры. Решить методом подстановки систему линейных уравнений.

Выразим х через у из 1-го уравнения. Получим: х=7+у. Подставим выражение (7+у) вместо х во 2-ое уравнение системы.

Мы получили уравнение: 3 · (7+у)+2у=16. Это уравнение с одной переменной у . Решаем его. Раскроем скобки: 21+3у+2у=16. Собираем слагаемые с переменной у в левой части, а свободные слагаемые — в правой. При переносе слагаемого из одной части равенства в другую меняем знак слагаемого на противоположный .

Получаем: 3у+2у=16-21. Приводим подобные слагаемые в каждой части равенства. 5у=-5. Делим обе части равенства на коэффициент при переменной . у=-5:5; у=-1. Подставляем это значение у в выражение х=7+у и находим х . Получаем: х=7-1; х=6. Пара значений переменных х=6 и у=-1 является решением данной системы.

Записывают: (6; -1). Ответ: (6; -1). Эти рассуждения удобно записывать так, как показано ниже, т.е. системы уравнений — слева друг под другом. Справа — выкладки, необходимые пояснения, проверка решения и пр.